Aloha :)
Wir betrachten die rekursiv definierte Folge:$$b_{n+1}=\frac{4b_n-3}{b_n}=4-\frac{3}{b_n}\quad;\quad b_1\coloneqq2$$
Durch Induktion zeigen wir kurz, dass \((b_n<3)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.
Wegen \((b_1=2)\) ist die Verankerung klar. Der Induktionsschritt ist nun:$$\small b_n<3\implies\frac{b_n}{3}<1\implies\frac{3}{b_n}>1\implies-\frac{3}{b_n}<-1\implies4-\frac{3}{b_n}<3\implies b_{n+1}<3$$
Ebenso kurz zeigen wir, dass \((b_n\ge2)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.
Wegen \(b_1=2\) ist die Verankerung wieder klar. Der Induktionsschritt lautet:$$\small b_n\ge2\implies\frac{b_n}{3}\ge\frac23\implies\frac{3}{b_n}\le\frac32\implies-\frac{3}{b_n}\ge-\frac32\implies4-\frac{3}{b_n}\ge\frac52\ge2\implies b_{n+1}\ge2$$
Wir halten fest, dass \((2\le b_n<3)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.
Damit können wir die Monotonie bestimmen:$$b_{n+1}-b_n=\frac{4b_n-3}{b_n}-b_n=\frac{4b_n-3-b_n^2}{b_n}=\frac{\overbrace{(b_n-1)}^{\ge1}\overbrace{(3-b_n)}^{>0}}{\underbrace{b_n}_{\ge2}}>0\implies b_{n+1}>b_n$$Die Folge ist also streng monoton wachsend.
