Konvergenz einer rekursiven Folge, mit a > 0 und xn ∈ (0, 1/2a)

Question

Aufgabe:

Es sei a > 0 und x1 ∈ (0,1/2a) vorgegeben. Die Folge (xn)∞_n=1 sei rekursiv definiert durch
xn+1 = (3/2)x_n− ax_n2 (n ∈ N).
Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (xn)∞_n=1, indem Sie wie folgt vorgehen. Zeigen Sie:
(a) xn ∈ (0,1/2a) (n ∈ N).
(b) (xn)∞_n=1 ist monoton.
(c) Folgern Sie die Konvergenz.

Berechnen Sie außerdem den Grenzwert der Folge.

Ansatz:

Ich hab versucht mir die Funktion anzuschauen, aber es handelt sich ja um eine gespiegelte Parabel, die konvergiert doch gegen gar nichts, oder irre ich mich? Darüber hinaus weiss ich nicht, wie ich mit dem Schritt in (a), also dem Intervall umgehen soll. Das ist das, was mich am meisten aus der Fassung bringt (Das Skript meines Profs kann ich in die Tonne hauen, da es einfach gar nicht weiterhilft). Und das mit der Monotonie versteh ich auch nicht auch, also wie man das bestimmt, ich weiss dass man daraus logischerweise Konvergenz folgern kann, da es ja zB monoton wachsen könnte und gegen eine Schranke konvergiert (das wäre dann auch das supremum oder).

Comments

Du musst erst mal reinfinden und ein Gefühl für das bekommen, was mit der Folge passiert.

Gib die eine Zahl a vor, z.B. a=10.

Dann muss x₁ kleiner als 1/(2*10)=1/20 sein, z.B. 0,04.

Rechne nun x₂ mit

x₁₊₁ = (3/2)x₁− 10x₁²  aus.

Verwende x₂, um mit

x₂₊₁ = (3/2)x₂− 10x₂²   den Wert für x₃ auszurechnen.

Verwende x3, um mit
x₃₊₁ = (3/2)x₃− 10x₃²  den Wert für x₄ auszurechnen.

Betrachte nun die Folge von x₁ bis x₄ und erkenne erst mal für dich, dass sie bis jetzt die zu beweisenden Eigenschaften hat.

PS: Schau mal was passiert, wenn x₁ nicht kleiner als 1/(2a), sondern gleich 1/(2a) wäre.

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Also ich hab mal bisschen rumprobiert, und herausgefunden, dass wenn x1 = 1/1a ist, dann 1/2a rauskommt. Weiterhin hab ich bemerkt (kann auch falsch sein) dass die Folge allgemein im Intervall (0, 1/2a) immer gegen 1/2a konvergiert.

Dann kam mir darauf die Idee, dass ich die (a) so begründe, dass xn ∈ (0, 1/2a) ist, da die folge immer gegen 1/2a konvergiert, und somit alle werte xn < 1/2a im Intervall liegen müssen. Dafür müsste ich aber Monotonie voraussetzen, was ich erst in der (b) soll. Deshalb ist mein Lösungsweg demnach glaube ich nicht so prickelnd. Aber ich hab wenigstens paar Erkenntnisse gemacht

Answer 1

Zur Monotonie solltest du mal die Differenz

x_n+1 -x_n =(3 /2)x_n− ax_n²   - x_n betrachten.

Das ergibt  0,5x_n− ax_n² , und nun solltest du mal schauen, ob das im in Frage kommenden Intervall immer positiv oder immer negativ ist.

Answer 2

Hallo

1. dass du x1=1/a nimmst ist schon mal schlecht, weil es ja kleiner 1/2a sein soll! und das ist 1/a sicher nicht.

a) da x1 zwischen 0 und 1/2a liegt nimm x1=1/2a-d wobei 0<d<1/2a ist, setze das ein und zeige, dass dann x2 auch <1/2a ist, dann mit vollständiger Induktion aus xn<1/2a auf xn+1<1/2a schließen, derselbe Schluß wie von 1 nach 2.

wenn du a) hast Monotonie: entweder xn+1/xn>1 oder xn+1-xn>0 für monoton steigend.

Gruß lul