Hallo deine Vermutung ist zu schwach. Du musst zeigen, dass deine Folge nach oben und nach unten beschränkt ist. Bei deinen ersten Berechnungen kannst du ja zb folgende Vermutung/Behauptung aufstellen: \(\forall n\in \mathbb{N}: \ 0\leq d_n\leq 1\).
Deinen Induktionsanfang müsstest du also so ausweiten:
\(IA:\qquad n = 0:\qquad 0=d_0\leq 1 \qquad \surd \)
Induktionsvoraussetzung \(IV\):
Angenommen, die Aussage gelte für ein belibieges, aber festes, \(n\in\mathbb{N}\),
also \(0\leq d_n\leq 1\).
Induktionsschritt:
Zunächst ist \(\qquad d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2)\).
Nach \(IV\) gilt nun jeweils \(d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2)\stackrel{IV}{\geq}\frac{1}{2} (1-1^2)=0\)
und \(d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2)\stackrel{IV}{\leq}\frac{1}{2} (1-0^2)=1\),
sodass insgesamt \(0\leq d_{n+1}\leq 1\) folgt, was zu zeigen war.
Also ist die Folge \(d_n\) durch \(0\) nach unten und durch \(1\) nach oben beschränkt.
Aber mein Problem ist, das ich nun nicht weiter weiß wie ich die Konvergenz daraus zeige ohne das Monotoniekriterium anzuwenden.
Monotonie und Beschränktheit einer Folge impliziert, dass die Folge konvergent ist.