Konvergenz der rekursiven Folge d_{n+1} = 1/2(1 - d_n^2)

Question

Hi Community,

Aufgabe:

Überprüfe die nachstehende rekursive Folge auf Konvergenz und Beschränktheit.

$$ d_0 = 0 ,\qquad d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2) $$

Problem/Ansatz:

Erstmal berechnete ich die ersten Folgenglieder:

$$ d_0 = 0 \\ d_1 =  \frac{1}{2} (1-0) =  \frac{1}{2} \\ d_2 = \frac{1}{2} (1-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} \\ d_3 = \frac{1}{2} (1-\frac{9}{64}) =\frac{55}{128} $$ Ich sehe vorerst, die Folge ist in den ersten Folgengliedern nicht monoton. Ich zeige nun die Beschränktheit per Induktion: Vermutung: 1 > d_n : $$ IA:\qquad n = 0:\qquad 1 > 0 = d_0 \qquad \surd \\ IS:\qquad d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2) = \frac{1}{2} - \frac{d_n^2}{2} > \frac{1}{2} -\frac{1}{2} = 0 $$ Nun weiß ich es ist mit Null nach unten beschränkt. Nun für die obere Schranke: Es gilt ja: $$ 1 > d_n \Rightarrow -d_n^2 < 1 $$ Nun folgt: $$ d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2) = \frac{1}{2} + \frac{(-d_n^2)}{2} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$ Also ist die Folge nach oben mit 1 beschränkt. Aber mein Problem ist, das ich nun nicht weiter weiß wie ich die Konvergenz daraus zeige ohne das Monotoniekriterium anzuwenden. Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Hallo

du kannst überlegen, wenn das konvergiert gegen g, dann gilt 2g=1-g^2 also g=√2-1

und zeigen, dass du eine Intervallschachtelung hast die auf den GW zuläuft. d.h, wenn dn<g dann folgt d_n+1>g und umgekehrt.

und |d_n-d_n+1| wird beliebig klein.

Gruß lul

Answer 2

Hallo deine Vermutung ist zu schwach. Du musst zeigen, dass deine Folge nach oben und nach unten beschränkt ist. Bei deinen ersten Berechnungen kannst du ja zb folgende Vermutung/Behauptung aufstellen: \(\forall n\in \mathbb{N}: \ 0\leq d_n\leq 1\).

Deinen Induktionsanfang müsstest du also so ausweiten:

\(IA:\qquad n = 0:\qquad 0=d_0\leq 1 \qquad \surd \)

Induktionsvoraussetzung \(IV\):

Angenommen, die Aussage gelte für ein belibieges, aber festes, \(n\in\mathbb{N}\),

also \(0\leq d_n\leq 1\).

Induktionsschritt:

Zunächst ist \(\qquad d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2)\).

Nach \(IV\) gilt nun jeweils \(d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2)\stackrel{IV}{\geq}\frac{1}{2} (1-1^2)=0\)

und \(d_{n+1} = \frac{1}{2} (1-d_n^2)\stackrel{IV}{\leq}\frac{1}{2} (1-0^2)=1\),

sodass insgesamt \(0\leq d_{n+1}\leq 1\) folgt, was zu zeigen war.

Also ist die Folge \(d_n\) durch \(0\) nach unten und durch \(1\) nach oben beschränkt.

Aber mein Problem ist, das ich nun nicht weiter weiß wie ich die Konvergenz daraus zeige ohne das Monotoniekriterium anzuwenden.

Monotonie und Beschränktheit einer Folge impliziert, dass die Folge konvergent ist.

Comments

Aber man sieht doch an den ersten Folgengliedern dass es nicht monoton ist oder?

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Es muss nicht ab dem ersten Folgenglied Monotonie vorherschen. Es reicht, wenn das erst ab einem bestimmten Index der Fall ist.

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Die Iteration wird nie monoton.

Gruß

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Ah ok tatsächlich. Dann könnte man ja diese Folge in zwei Teilfolgen aufsplitten und zeigen, dass diese jeweils monoton sind. Beschränkt sind sie ja, nach vorherigem Beweis. Damit hätte man schonmal die Konvergenz der beiden Teilfolgen. Dann kann man davon jeweils mittels einer Fixpunkteichung deren Grenzwert ausrechnen. Und wenn sie gleich sind, ist der Häufungspunkt eindeutig, d.h. der Grenzwert von \(d_n\) existiert. Problem wäre jetzt aber, wie man denn diese Teilfolgen günstig hinschreibt, da wir ja nur eine Rekursion gegeben haben. Ok, da scheint mir der Ansatz von MathePeter bzw. von lul doch geeigneter zu sein.

Answer 3

Hallo,

wir benutzen die schärfere Abschätzung, die unmittelbar aus der Rekursion folgt:

$$d_{n+1} =0.5(1-d_n^2) \leq 0.5$$

Außerdem den von lul schon bestimmten potenziellen Grenzwert \(g=\sqrt{2}-1\). Es gilt:

$$g-d_{n+1}=0.5\left[ 1-g^2-(1-d_n^2) \right]=0.5(d_n^2-g^2)=0.5(d_n-g)(d_n+g)$$

Da wir wissen, dass \(d_n \leq 0.5\) und \(g \leq 0.5\), ergibt sich für all natürlichen Zahlen:
$$|g-d_{n+1}| \leq 0.5|g-d_n| \leq \cdots \leq 0.5^n |g-d_1|$$

Also Konvergenz.

Gruß

Comments

Wie kommst du auf deine letzte Zeile mit $$ |g - d_{n+1}|\leq 0.5|g - d_n| $$ Und wie würde man in diesem Fall nun auf den Grenzwert kommen?

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Diese Abschätzung folgt aus der vorherigen Zeile, indem ich \(d_n+g \leq 0.5+0.5\) abschätze. Die Konvergenz folgt dann, weil \(0.5^n \to 0\). Den Wert des Grenzwerts hatte ja schon lul angegeben.

Gruß