Konvergenz einer rekursiven Folge

Question

Hi Leute
ich bin in den Ferien das Thema Konvergenz/Grenzwerte am durchgehen und habe zur Übung nun eine Aufgabe bearbeitet .
Hoffe jemand kann mal drüber schauen und sagen ob was nicht stimmt und es verbessern.


Aufgabe : Wir definieren (a_n) rekursiv durch a₀ = 0  und a_(n+1)  =  1/3 * ( a_(n) +1)  für alle n aus ℕ .

Zeige das a_(n) konvergiert und bestimme den Grenzwert.
 

Für die Konvergenz muss ich zeigen dass die Folge monoton und beschränkt ist .

Monotonie  :   a_(n) <  a _(n+1)

Zeigt man mittels vollständiger Induktion

I.A.     a₍₀₎ = 0    und a₍₁₎ =  1/3  * ( 0 +1) = 1/3
          a₍₀₎ < a ₍₁₎ 

I.V.     a_(n) < a _(n+1)
I.s.     a_(n+1)  < a _(n+2)   <=>       1/3 * ( a_(n) +1)  <  1/3 * (a_(n+1) +1 )      <=>                      1/3 * a_n + 1/3  < 1/3 * a_n+1 + 1/3
          <=>  1/3 a_n < 1/3 a_n+1         <=>  a_n < a_n+1
Damit folgt dass die Folge streng monoton wachsend ist. Jedoch habe ich nirgends I.V. genutzt was mich schonmal sehr verwirrt .

Beschränktheit :  Als die untere Schranke habe ich 0 gewählt da unser a₀ = 0 ist und wir in der Folge sonst nur steigen (haben wir ja laut monotonie ). Als obere Schranke habe ich einfach 20 genommen da ich ja nicht die kleinste obere Schranke sondern einfach nur irgendeine obere Schranke brauche und mir die 20 als groß genug erschien.

=>  0 < a_n+1 < 20 
Wieder mittels Induktion:
I.A. :  a₀ = 0    und 0< 20
I.V. : a_n+1 =  1/3 * ( a_n +1) < 20
I.S. : a_n+2 = 1/3 * ( a_n+1 +1) = 1/3 * a_n+1  + 1/3  < I.V.   1/3 *20 + 1/3 = 7 < 20 

Damit ist gezeigt 20 ist eine obere Schranke und damit ist die Folge beschränkt.
Nun fehlt der Grenzwert  :
 Lim _{( n -> ∞)}  a_n+1 = a 
<=>  Lim _{( n->∞)} 1/3 * (a_n +1) = a    <=> 1/3 * a + 1/3 = a  <=>  a = 1/2 

Comments

Jedoch habe ich nirgends I.V. genutzt was mich schonmal sehr verwirrt .

Doch, hast du!
Dein Induktionsschritt endet mit:

a_n < a_n+1

Daraus ziehst du den Schluss, dass die Folge streng monoton wachsend sei. Dabei aber benutzt du die IV, denn ohne diese dürftest du diesen Schluss nicht ziehen, da ja dann nicht klar wäre, dass a_n < a_n+1 tatsächlich gilt.. 

Alles andere sieht gut aus.

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@JotEs: Mach daraus eine Antwort, dann ist diese Frage 'erledigt'.

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Ok, hab's gemacht. Danke für den Hinweis.

Answer 1

Jedoch habe ich nirgends I.V. genutzt was mich schonmal sehr verwirrt .

Doch, hast du!
Dein Induktionsschritt endet mit:

a_n < a_n+1

Daraus ziehst du den Schluss, dass die Folge streng monoton wachsend sei. Dabei aber benutzt du die IV, denn ohne diese dürftest du diesen Schluss nicht ziehen, da ja dann nicht klar wäre, dass a_n < a_n+1 tatsächlich gilt.. 

Alles andere sieht gut aus.

Comments

Beim machen anderer Aufgaben dieser Art ist mir dann auch aufgefallen wobei ich und inwiefern ich die I.V. nutze :D