Beschränktheit/Monotonie einer rekursiven Folge über Induktion?

Question

Wenn man die Beschränktheit/Monotonie einer rekursiv beschriebenen Folge zeigen möchte, muss man dies über Induktion tun, oder gibt es da einen anderen Weg?

Falls nein, wie würde man zeigen, dass die Folge a_n mit a₁=1 und a_n+1=√(1+a_n) nach oben durch (1+√5)/2 beschränkt ist? Die Monotonie hätte ich.

Man hätte dann ja dann im Induktionsschritt:

a_n ≤ (1+√5)/2 ⇔ a_n + 1 ≤ (1+√5)/2 + 1 ⇔ √(a_n +1) ≤ √((1+√5)/2 +1) ⇔ a_n+1 ≤ √((3+√5)/2)

Habe das Rechte schon versucht wieder zu vereinfachen, aber das wird nicht mehr zu (1+√5)/2.

Answer 1

Hallo :-)

Induktion ist bei solchen Rekursionen ein hilfreicher Ansatz.

Falls nein, wie würde man zeigen, dass die Folge an mit a1=1 und an+1=√(1+an) nach oben durch (1+√5)/2 beschränkt ist?

Wenn du mit bloßem Auge sehen kannst, dass die Folge durch die Zahl \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) nachoben beschränkt ist, hast du meinen Respekt. ;-)

Zunächst ist es schwer, diese Zahl händisch auszuwerten. Es empfielt sich von daher auf ,,einfachere" Schranken zurückzugreifen. Das reicht hier auch, denn wenn es eine Zahl gibt, welche deine Folge von oben beschränkt, hast du den Nachweis der Konvergenz deiner Folge gesichert. Der Grenzwert $$ g=\lim\limits_{n\to \infty} a_n \quad \Bigg(\Longrightarrow\quad \sqrt{g}=\sqrt{\lim\limits_{n\to \infty}a_n}\Bigg) $$ existiert also. Für die Beschränktheit reicht also \(a_n\leq 2\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) zu zeigen.

Dann gilt $$ g=\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{1+a_n}=\sqrt{1+g} $$

Diese Gleichung musst du nur noch nach \(g\) auflösen.

Comments

Vielleicht hätte ich noch sagen müssen, ich weiß, dass der Grenzwert dieser Folge (1+√5)/2 ist, da ich das vorher gezeigt habe.

Und ich muss für die Konvergenz wie du auch meintest ja auch nur zeigen, dass überhaupt eine Zahl existiert, die a_n nach oben beschränkt. Ich hatte den Grenzwert genommen, weil das am nahe liegendsten war für mich.

Das wäre im Induktionsschritt dann einfach das?

a_{n} ≤ 2 ⇔ a_{n} + 1 ≤ 2 + 1 ⇔ √(a_{n} +1) ≤ √3 < 2.

Danke für die Antwort!

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dass der Grenzwert dieser Folge (1+√5)/2 ist, da ich das vorher gezeigt habe.

Wie hast du es denn gezeigt?

Ich hatte den Grenzwert genommen, weil das am nahe liegendsten war für mich.

Das erschwert dir hier nur deinen Nachweis für die obere Beschränktheit.

Das wäre im Induktionsschritt dann einfach das?

an ≤ 2 ⇔ an + 1 ≤ 2 + 1 ⇔ √(an +1) ≤ √3 < 2.

Nein. Du musst im Induktionsschritt deine Behauptung \(a_{n+1}\leq 2\) zeigen und dafür die Induktionsvoraussetzung \(a_n\leq 2\) verwenden. Es kann ja sein, dass bereits in der Voraussetzung die Aussage falsch ist. Und aus falschen Aussagen lassen sich wahre Aussagen schlussfolgern.

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Wie hast du es denn gezeigt?

Genauso, wie du es oben angedeutet hattest.

g=√(1+g), dass dann hoch 2 auf beiden Seiten, dann mit abc oder pq Formel lösen. Dann kommen zwei Lösungen raus und nur die, die größer 0 ist, kommt in Frage, also ist der Grenzwert (1+√5)/2. Aber ist ja eigentlich auch unerheblich für die Beschränktheit.

Du musst im Induktionsschritt deine Behauptung \(a_{n+1}\leq 2\) zeigen und dafür die Induktionsvoraussetzung \(a_n\leq 2\) verwenden

Das dachte ich mir schon. Aber wie ich da weiter komme, keine Ahnung. Man kommt doch da immer auf √3, oder? Was kann man denn anders umformen hier?

(a_n+1)² = (√(a_n +1))² = a_n +1 ≤ 2 + 1 = 3

⇒ (a_n+1)² ≤  3 ⇒ an+1 ≤ √3 < 2.

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g=√(1+g), dass dann hoch 2 auf beiden Seiten, dann mit abc oder pq Formel lösen. Dann kommen zwei Lösungen raus und nur die, die größer 0 ist,

Dafür musst du aber erstmal die Existenz vom Grenzwert nachweisen. Hier mal ein Beispiel wo deine Vorgehensweise bitter in die Hose geht. Betrachte die folgende Rekursion: \(a_{n+1}=\frac{1}{5}\cdot a_n^2,\quad a_0=10\).

Damit betrachte ich nun \(g=\frac{1}{5}\cdot g^2\Leftrightarrow 0=\frac{1}{5}\cdot g^2-g=g\cdot (\frac{1}{5}\cdot g-1)\\\Rightarrow g_1=0,\quad g_2=5\). \(a_n\) ist offensichtlich monoton wachsend und divergent. Also funktioniert der Ansatz mit \(g=\frac{1}{5}\cdot g^2\) nicht.

Das dachte ich mir schon. Aber wie ich da weiter komme, keine Ahnung. Man kommt doch da immer auf √3, oder? Was kann man denn anders umformen hier?

(an+1)2 = (√(an +1))2 = an +1 ≤ 2 + 1 = 3

⇒ (an+1)2 ≤  3 ⇒ an+1 ≤ √3 < 2.

Das geht etwas einfacher:

$$ a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\stackrel{(IV)}{\leq} \sqrt{1+2}=\sqrt{3}<\sqrt{4}=2. $$

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Auch hier sollte ich vielleicht sagen, dass ich annehmen durfte, dass die Folge konvergiert. :D Aber ja normalerweise müsste man die Konvergenz vorher zeigen, also das was ich jetzt mache. Beschränktheit müsste ich dann jetzt haben. Monotonie ist ja ein ganz einfach, denn a_n+2= √(1+a_n+1)≥√(1+a_n)=a_n+1. Dann bin ich damit jetzt fertig, danke!

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Auch hier sollte ich vielleicht sagen, dass ich annehmen durfte, dass die Folge konvergiert. :D

Es ist immer wichtig (komplett) zu sagen, was du gegeben hast.

Dein Monotoniebeweis sieht gut aus. :)