Halli ich kämpfe nun schon länger mit einer Aufgabe, die da folgendermaßen lautet:
Untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \) an. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n≥0
\( a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1} , a_0=\frac{1}{2} \)
Problem/Ansatz:
Zu allererst stellt sich natürlich die Frage, ob ich davon ausgehen darf, dass die Folge wohldefiniert ist. Immerhin gibt es keine einheitliche Konvention zum Ziehen von Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen. Aber nachdem die Angabe bereits suggeriert, dass die Folge wohldefiniert ist für alle n∈N, sagen wir mal ich kann die Wurzel ziehen.
Berechnen der ersten paar Folgeglieder \((0.5,0,-1, \sqrt[3]{-3} )\) lässt mich vermuten, dass die Folge monoton fallend ist. Beweis über vollständige Induktion bestätigt das auch. Bei der Beschränktheit steh ich jetzt aber am Schlauch. Was wäre ein Ansatz um diese zu zeigen bzw. zu widerlegen? Nach oben ist die Folge, wenn sie monoton fallend ist durch \(\frac{1}{2}\)beschränkt, klar. Aber nach unten? Ich muss irgendeine Ungleichung der Form \(u<a_n\) (u steht da jetzt für die untere Schranke) auf eine Ungleichung für \(a_{n+1}\) bringen, aber das gelingt mir leider nicht.
(Den Grenzwert würde ich (so es einen gibt) mit der Annahme lim an+1=lim an berechnen und da würde man dann ja auf die Gleichung \(a^3=2a-1\) kommen, da kommt als infrage kommende Lösung \( a=- \frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2} \) raus, was angesichts der berechneten Folgeglieder auch sinnvoll erscheint. )
Bin für jeden Tipp dankbar!