Aufgabe:
Sei \(p>0\) ein fester Parameter. Zu einem beliebigen Anfangswert \(a_{0} \in \mathbb{R}\) wird durch \(a_{n+1}:=a_{n}\left(2-p a_{n}\right)\) rekursiv eine Folge \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) definiert. Untersuchen Sie, für welche Anfangswerte \(a_{0}\) diese Folge konvergiert (ggf. uneigentlich), und bestimmen Sie den jeweiligen Grenzwert.
Problem/Ansatz:
Bisher habe ich diese Vermutungen:
Falls die Folge konvergiert, dann ist es entweder \(a=0\) oder \(a = \frac{1}{p}\).
Für \(a_{0}<0\) und für \(a_0 > \frac{2}{p}\) ist die Folge uneigentlich konvergent gegen \(-\infty\).
Für \(a_0 \in (0, \frac{2}{p})\) konvergiert die Folge gegen einer der Grenzwerte.
Für \(a_0 = 0\) und \(a_0 = \frac{2}{p}\) ist es klar.
Ich bin mir jetzt aber nicht so sicher, wie ich beim Beweis vorgehen soll. Einige meiner Überlegungen ist es, für \(a_0 < 0\) zu zeigen, dass die Folge streng monoton fallend ist (ggf. mit Induktion). Dann kann sie prinzipiell nur uneigentlich gegen \(- \infty\) konvergieren, da die einzigen, möglichen Grenzwerte \(0\) und \(\frac{1}{p}\) sind. Insbesondere weiß ich aber nicht, wie ich für die anderen Fälle (vor allem bei \(a_0>\frac{2}{p}\) und \(a_0 \in \left(0, \frac{2}{p}\right)\) ), bei denen es tatsächlich nicht trivial und klar ist, vorgehen soll. Ich würde mich Lösungsansätze sehr freuen...
