Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass f auf I genau einen Fixpunkt x* besitzt.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f: R-->R mit $$f(x)=\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}$$ auf I=[-0,5;0,5].

Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass f auf I genau einen Fixpunkt x* besitzt.

Laut den Lösungen der Aufgabe besitzt f auf I genau einen Fixpunkt x*. Ich habe die Aufgabe berechnet, erfülle jedoch am Ende nicht, dass I F(x) - F(y) I ≤ L * Ix-yI ist. Habe ich mich verrechnet oder einen anderen Fehler?

Meine Lösung:

F ist stetig differenzierbar und es gilt: $$F´(x) =\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$$. Grenzen des Intervalls prüfen: Es ist $$F(-0,5)=\frac{1}{6}*(-\frac{1}{2})^{3}+\frac{1}{4}*(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}*-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\in[-0,5;0,5]$$ und

$$F(0,5)=\frac{1}{6}*(\frac{1}{2})^{3}+\frac{1}{4}*(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}*\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{8}\in[-0,5;0,5]$$ , sodass F:[-0,5;0,5]-->[-0,5;0,5] beschränkt und abgeschlossen ist.

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz besitzt F genau dann einen Fixpunkt $$x*\in[-0,5;0,5]$$, wenn F eine Kontraktion ist.

Z.z.: $$0\leq x < y \leq 1$$ existiert mit I F(x) - F(y) I ≤ L* I x-y I für alle $$x,y*\in[-0,5;0,5]$$

Mit MWS gilt: $$I F(x) - F(y) I = I F´(ξ_x,_y) I I x -y I ≤ sup (ξ\in[x,y]) I F´(ξ)I I x-y I = I x - y I sup (ξ\in[x,y] \frac{1}{2}*ξ² +\frac{1}{2}*ξ-\frac{1}{4} ≤ I x-y I sup (ξ\in[a,b]) \frac{1}{2}*ξ² +\frac{1}{2}*ξ-\frac{1}{4}$$.

a=-0,5   b= 0,5 sodass $$-\frac{1}{2}\leq x< y \leq \frac{1}{2}$$. Für maximalen Wert des Intervalls ist F´(0,5) = 1/8 und für den minimalen Wert ist F´(-0,5) = - 3/8, weshalb $$I F(x) - F(y) I ≤ I x-y I sup (ξ\in[a,b]) \frac{1}{2}*ξ² +\frac{1}{2}*ξ-\frac{1}{4} = I x-y I * (\frac{1}{2} * (\frac{1}{2})²  + \frac{1}{2} * (\frac{1}{2})-\frac{1}{4})$$ = I x -y I * 1/8 ist, womit L = 1/8.

Es bleibt z.z., dass I F(x) - F(y) I ≤ 1/8 * I x-y I für alle $$x,y*\in[-0,5;0,5]$$. Für den maximalen Abstand zwischen F(x) und F(y) sei I F(x) - F(y) I = $$I(\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x² -\frac{1}{4}x+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}y^3+\frac{1}{4}y² -\frac{1}{4}y+\frac{1}{6})I$$ = $$I(\frac{1}{6}(x-y)^3+\frac{1}{4}(x-y)² -\frac{1}{4}(x-y)+\frac{1}{6})I$$. Da x und y im Intervall [-0,5;0,5] liegen, gilt für x = -0,5 und für y = 0,5 folglich

I F(x) - F(y) I = I F(-0,5) - F(0,5) I = 3/8

... aber 3/8 sind ja nicht kleiner gleich 1/8?

Die $$I$$ sollen den Betrag darstellen.

Answer 1

Nach meiner Rechnung ist eine Lipschitz-Konstante

\(L=\sup_{x\in [-1/2,1/2]} |f'(x)| = 3/8\).

Comments

Was habe ich da falsch gemacht?

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Siehe meine Antwort. Die 3/8 ist auch nur eine Lipschitzkonstante, von vielen. Es gibt nicht die Lipschitzkonstante.

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Habe meinen Text korrigiert !

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Siehe diesen Plot:
https://www.wolframalpha.com/input?i=max+%28abs%28x%5E2%2Bx-1%2F2%29%2F2%29+from+-0.5+to+0.5

Answer 2

Hier sind einige Lücken.

Zunächst musst Du \(f:I\longrightarrow I\) zeigen. Du hast nur \(f(-0.5)\in I, f(0.5)\in I\) gezeigt. Das reicht nicht. Woher weißt Du was bei den restlichen Werten im Intervall passiert? Einsetzen der Randpunkte reicht dann (z.B.), wenn \(f\) monoton auf \(I\) ist. Das hast Du nicht erwähnt und nachgewiesen - und es wäre auch schwierig, weil \(f\) nicht monoton auf \(I\) ist.

Denselben Fehler hast Du bei der Berechnung von \(L\) gemacht: Prüfen der Randwerte reicht nicht. Es muss das ganze Intervall betrachtet werden. Das ist hier nicht so schwer, weil \(f'\) ja eine quadratische Funktion ist. Beachte, es geht um \(|f'|\), nicht um \(f\). Damit erhältst Du z.B. \(L=3/8\). Mit anderen Methoden kann man auch auf ein größeres \(L\) kommen, was nicht falsch sein muss und für den BFS auch reichen würde, solange \(L<1\) ist.