Question

Aufgabe zum Banachschen Fixpunktsatz

Aloha meine Weg-Gefährten,

hier stehe ich nun mit einer harten Nuss:

Beweisen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die Integralgleichung

$$x(t)=1+\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{t}sx(s)ds$$

für $$t\in{[-1, 1]}$$ eine eindeutige Lösung $$x\in{C[-1,1]}$$

besitzt.

Nun zu meinem Problem: Ich habe eben einfach drauf los gerechnet, aber mein Übungsgruppenleiter meinte, dass ich auf dem falschen Weg bin. Nun bin ich etwas ratlos und weiß nicht was zu tun ist. Scheinbar muss ich ein eindeutiges x finden, um das Integral zu lösen, aber gerade weiß ich nicht mehr weiter.

Comments

Mir fällt der Umgang mit der Funktion in der Funktion schwer.

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Hattest du schon bei ähnlichen Fragen nachgesehen.

https://www.mathelounge.de/551912

Wenn nicht könnte dir das weiterhelfen.

Answer 1

Die Gleichung soll für alle t gelten, d.h. da steht die Gleichheit zweier Funktionen. Als Funktion gelesen: x=F(x) wobei...

Unterscheide genau zwischen Funktion und Funktionswert, d.h. in jedem Moment, nicht nur ab und zu, sonst kommst Du nicht weiter.

Also, wie ist die Funktion F(x) (ja, diese Funktion ist selbst ein Funktionswert) definiert?

Comments

Wir definieren uns dann x(t)=F(x(t)), oder?

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Nein. Erstmal ist das die Gleichung, die zu lösen ist. Zweitens ist das gesuchte F nicht definiert auf den reellen Zahlen, daher macht F(x(t)) keinen Sinn. Schreib erstmal auf, was x ist; was für ein Objekt? Wenn Funktion, dann welcher Def/Wertebereich? Danach überlege, in welchem Raum die Fixpunktgleichung gelten soll. Danach def F (Objekt? usw.).

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Ergänzung: Muster der Def. einer Funktion: "Sei \(f:\R\rightarrow\R\) definiert durch \(f(t)=t^2\) für alle \(t\in\R\)."