Ist f(x,y) = x^2+y^2 auf ℝ eine Norm?

Question

Aufgabe:

Ist f(x,y) = x²+y² auf ℝ eine Norm?

Problem/Ansatz:

In der Vorlesung hatten wir für die Definiertheit einer Norm, die Positivität (Definitheit), Homogenität und die Dreiecksungleichung.

Ich habe mal ein wenig mit ChatGPT gespielt und bin bei der Homogenität hängen geblieben...

Positivität:

Für die Funktion f(x,y) = x²+y² gilt:

f(x,y) = x²+y² ≥ 0 für alle (x,y) im reellen Raum.

f(x,y) = 0 gilt nur dann, wenn x= 0 und y = 0, was genau dem Nullvektor entspricht.

Damit ist die Positivität der Funktion erfüllt.

Homogenität:

Für die Funktion f(x,y) = x²+y² gilt:

f(kv) = |k| * f(v)

Die Norm des Vektors v = (x,y) ist f(v) = x²+y²
Die Norm des skalierten Vektors kv = (kx,ky) ist f(kv) = (kx)² + (ky)² = k²(x²+y²), aber das ist ja nicht |k| * (x²+y²).

ChatGPT meint, das damit die Homogenität bewiesen ist, da k nicht negativ ist.

Ich bin etwas verwirrt, da ich nach der Definition für Homogenität nicht |k|*(x²+y²) sondern k²(x²+y²) erhalte und der Meinung bin, das die Homogenität damit nicht gezeigt ist?

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen. :)

Comments

Für mathematische Fragestellungen dieser Art ChatGPT zu konsultieren, ist meiner Meinung nach so ziemlich UN-intelligent - einerlei ob künstlich oder natürlich.

Answer 1

Der Homogenitätsbegriff wird hier auf zwei verschiedene Weisen gebraucht.

Homogenität einer Funktion ist nicht dasselbe wie

die (absolut-) Homogenität einer Norm.

Deine Funktion \(f\) ist eine homogene Funktion vom

Homogenitätsgrad 2 wegen \(f(kv)=k^2f(v)\),

aber sie ist nicht homogen im Sinne einer Norm;

denn dann müsste \(f(kv)=|k|\cdot f(v)\) gelten.