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(a) (3 Bonuspunkte) Zeigen Sie, dass der Raum
\( C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right)=\left\{f: I \rightarrow \mathbb{R}^{n}: f \text { ist stetig }\right\} \)
versehen mit der Supremumsnorm
\( \|f\|_{I}=\sup _{x \in I}\|f(x)\|, \)
vollständig ist. (Hinweis: Sie müssen nicht begründen, dass die Supremumsnorm eine Norm ist. Sie dürfen ohne erneuten Beweis benutzen, dass \( C(I, \mathbb{R}) \) vollständig ist. Das ist eine direkte Verallgemeinerung von Blatt 3, Aufgabe 4. )
(b) (2 Bonuspunkte) Sei \( L \in \mathbb{R} \) und \( a \in I \). Für \( f \in C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right) \) sei
\( \|f\|_{L}=\sup _{x \in I} e^{-2 L|x-a|}\|f(x)\| . \)
Zeigen Sie, dass \( \|\cdot\|_{L} \) eine Norm auf \( C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right) \) ist, die äquivalent zur Supremumsnorm ist. Schließen Sie, dass \( C\left(I, \mathbb{R}^{n}\right) \) mit dieser Norm vollständig ist.
(c) (5 Bonuspunkte) Sei
\( f: I \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad(x, y) \mapsto f(x, y) \)
eine stetige Funktion, die auf \( I \times \mathbb{R}^{n} \) einer (globalen) Lipschitz-Bedingung genügt. Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (b): Zu jedem Punkt \( (a, c) \in I \times \mathbb{R}^{n} \) gibt es eine auf ganz \( I \) definierte Lösung \( \varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) der DGL
\( y^{\prime}=f(x, y) \)
mit \( \varphi(a)= \) c. (Hinweis: Benutzen Sie wie im Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf den Banachschen Fixpunktsatz, aber benutzen Sie die Norm aus Teil (b).)
Alles auf einem kompakten Intervall I
