Die natürlichen Matrizennormen zur Supremumsnorm und der Summennorm ist die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die natürlichen Matrizennormen zu \( \|\cdot\|_{\infty} \) und \( \|\cdot\|_{1} \) die Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm sind.

\( \mathrm{zu}\|\cdot\|_{\infty} \) ist die Zeilensummennorm
\( \|A\|_{\infty}:=\max _{1 \leq j \leq n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{j k}\right| . \)
zu \( \|\cdot\|_{1} \) ist die Spaltensummennorm
\( \|A\|_{1}:=\max _{1 \leq k \leq n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{j k}\right| . \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht so recht, wie ich diese beiden Forderungen zeigen soll?

\( \|\cdot\|_{\infty} \) ist ja die Supremumsnorm \( \|A\|:=\sup _{x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}} \frac{\|A x\|}{\|x\|}=\sup _{\substack{x \in \mathbb{R}^{n} \\\|x\|=1}}\|A x\| \). somit müsste ja gelten:

\( \|A\|_{\infty}=\sup _{\|x\|_{\infty}=1}\|A x\|_{\infty}=\max _{\|x\|_{\infty}=1}\|A x\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \sum \limits_{j=1}^{m}\left|a_{i j}\right| \)

\( \|\cdot\|_{1} \) müsste die Summennorm sein, womit doch gelten müsste:

\( \|A\|_{1}=\sup _{\|x\|_{1}=1}\|A x\|_{1}=\max _{\|x\|_{1}=1}\|A x\|_{1}=\max _{1 \leqslant j \leqslant m} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right| \)

Comments

Wäre für die Spaltensummennorm folgende Überlegung richtig?

Für die 1-Norm davon gilt \( |A x|_{1}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left|\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i, j} \cdot x_{j}\right| \)
\( \begin{array}{l} \leq \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| \cdot\left|x_{j}\right| \\ =\sum \limits_{j=1}^{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| \cdot\left|x_{j}\right| \\ \leq \sum \limits_{j=1}^{n}\left[\max _{1 \leq j \leq n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i, j}\right|\right) \cdot\left|x_{j}\right| \\ =\max _{1 \leq j \leq n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| \cdot \sum \limits_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right| \\ =\max _{1 \leq j \leq n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| \cdot|x|_{1} . \end{array} \)
Hieraus folgt \( \|A\|_{1} \leq \max _{1 \leq j \leq n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| \).

Jetzt müsste ich doch auch noch die andere Richtung zeigen, indem man ein \( j \), für das \( \sum \limits_{i=1}^{n}\left|a_{i, j}\right| \) maximal ist, wählt. ⇒ Da komme ich jetzt aber nicht mehr weiter!!

Könnte man dann für die Zeilensummennorm analog argumentieren?

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Habe mir jetzt noch weitere Gedanken zur Rückrichtung gemacht - könnte ich da so argumentieren:

Sei \( A \neq 0 \) und \( e_{j} \) der j-te Einheitsvektor. Dann gilt:

\( \max _{j=1, \ldots, n}\left\|A e_{j}\right\|_{1}=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{i=1}^{m}\left|a_{i j}\right|=S \leq \sup _{\|x\|_{1}=1}\|A x\|_{1}=\|A\|_{1} \)

Somit gilt \( \|A\|_{1}=S=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{i=1}^{m}\left|a_{i j}\right| \)

Somit folgt dann ja die Gleichheit - richtig so?

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Ja, das ist so richtig.

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@Mathhilf: Danke dir vielmals für deine Bestätigung, dass meine Überlegungen stimmen ☺