Aufgabe:
Ist die Spektralnorm von symmetrischen Matrizen immer kleiner gleich der Zeilensummennorm der Matrix?
Wie ist denn die Spektralnorm definiert?
Die Spektralnorm ist definiert als die Wurzel des Spektralradius von (ATA), für symmetrische Matrizen entspricht die Spektralnorm also genau dem größten Eigenwert
Hallo:-)
Es ist hilfreich, wenn du zunächst einmal kurz aufführst, wie du die Matrixnormen bezeichnest, also Notation und welche Beziehungen/Abschätzungen du bereits von Matrixnormen kennst.
Und ja, deine Vermutung stimmt für symmetrische Matrizen.
Es sei s ein Eigenwert der n-n-Matrix A mit Eigenvektor v. Dann gilt für jede Vektornorm:
$$|s|=\frac{\|sv\|}{\|v\|}=\frac{\|Av\|}{\|v\|} \leq \sup \{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \mid x \neq 0\}=\|A\|$$
D.h. die Operatornorm (oder zugeordnete Matrizennorm) \(\|A\|\) ist eine obere Abschätzung für jeden Eigenwert-Betrag. Die Zeilensummen-Norm ist die Operatornorm zu Maximums-Norm. Daher gilt die Aussage.
Dankeschön, kann man also sagen, die Spektralnorm ist die "kleinste Norm" für Matrizen?
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