Aufgabe: Beweis von Matrixnorm-Eigenschaften einer beliebigen Norm
Problem/Ansatz:
Gegeben sei eine beliebige Norm auf $$ \mathbb{C}^m $$
Es soll bewiesen werden, dass für eine invertierbare Matrix W $$ \in \mathbb{C}^{m \times m} $$ folgende Funktion eine Norm ist:
$$ \vert \vert x \vert \vert_W:=\vert \vert W * x \vert \vert $$
Es müssen hier also die 3 Matrixnorm-Eigenschaften geprüft werden:
1. Definitheit
2. Absolute Homogenität
3. Dreiecksungelichung
Die Definitheit stellt keine Problem dar: $$ 0 \cdot W $$ ist null; falls x größer null ist, kann das Ergebnis nicht null sein
Bei der absoluten Homogenität stehe ich auf dem Schlauch.
Zu beweisen ist: $$ \vert \vert W \cdot x \vert \vert = \vert \vert W \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert $$
Bei Vektoren kann man das schön veranschaulichen: Beleibige Zahl mal Vektor vergleichen mit Betrag der beliebigen Zahl mal Betrag des Vektor. Mein Problem ist es nun, das alles mathematisch solide und für eine allgemeine Norm aufzuschreiben. In diesem Fall für Matritzen.
Für Tips wäre ich sehr dankbar.
Ich denke wenn der Groschen gefallen ist, werde ich die Dreiecksungelichung hinbekommen und poste das dann auch hier.