Zeigen Sie, dass für die induzierte Matrixnorm gilt

Question

Aufgabe:

$$ \mathrm{Zu} \omega_{1}, \ldots, \omega_{n}>0 \operatorname{sei}\|x\|_{\omega, \infty}=\max _{j=1, \ldots, n} \frac{\left|x_{j}\right|}{\omega_{j}} \text { und }\|x\|_{\omega, 1} :=\sum_{j=1}^{n} \frac{\left|x_{j}\right|}{\omega_{j}} \text { auf } \mathbb{R}^{n} $$

Zeigen Sie, dass für die induzierte Matrixnorm gilt

$$ \|A\|_{\omega, \infty}=\max _{i=1, \ldots, n} \frac{1}{\omega_{i}} \sum_{j=1}^{n} \omega_{j}\left|a_{i j}\right| $$

Problem/Ansatz:

Ich stehe gerade irgenwie auf dem Schlauch. In der Voraussetzung ist die Norm mit einem Vektor gegeben, jedoch wird in der Aufgabe die Norm einer Matrix gesucht. Wie fange ich an? Die summe über die a_ij sieht schon mal nach der Maximumsnorm aus, jedoch weiß ich nicht wie mir das weiterhilft.

Comments

Hallo

 wie wärs mit nachsehen im Netz, etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Matrixnorm

Gruß lul

Answer 1

Hallo Nic, am einfachsten ist es wohl, wenn du zuerst mal ω_i = 1 setzt und diese Aufgabe durchrechnest.  Vielleicht steht dies sogar in deinen Unterlagen.  Du gehst von der Vektornorm in meinem Bild Gl. (I) aus und beweist die Matrixnorm Gl. (II).  Dies mit Hilfe der Anleitung Gl. (III).  Quelle für Gl. (III) ist die von lul genannte Wikipedia-Seite.  Wenn du hierbei Hilfe brauchst, melde dich bitte.