Aufgabe:
$$ \mathrm{Zu} \omega_{1}, \ldots, \omega_{n}>0 \operatorname{sei}\|x\|_{\omega, \infty}=\max _{j=1, \ldots, n} \frac{\left|x_{j}\right|}{\omega_{j}} \text { und }\|x\|_{\omega, 1} :=\sum_{j=1}^{n} \frac{\left|x_{j}\right|}{\omega_{j}} \text { auf } \mathbb{R}^{n} $$
Zeigen Sie, dass für die induzierte Matrixnorm gilt
$$ \|A\|_{\omega, \infty}=\max _{i=1, \ldots, n} \frac{1}{\omega_{i}} \sum_{j=1}^{n} \omega_{j}\left|a_{i j}\right| $$
Problem/Ansatz:
Ich stehe gerade irgenwie auf dem Schlauch. In der Voraussetzung ist die Norm mit einem Vektor gegeben, jedoch wird in der Aufgabe die Norm einer Matrix gesucht. Wie fange ich an? Die summe über die aij sieht schon mal nach der Maximumsnorm aus, jedoch weiß ich nicht wie mir das weiterhilft.
