Matrixnorm-Eigenschaften einer beliebigen Norm beweisen

Question

Aufgabe: Beweis von Matrixnorm-Eigenschaften einer beliebigen Norm

Problem/Ansatz:

Gegeben sei eine beliebige Norm auf $$ \mathbb{C}^m $$

Es soll bewiesen werden, dass für eine invertierbare Matrix W $$ \in \mathbb{C}^{m \times m} $$ folgende Funktion eine Norm ist:

$$ \vert \vert x \vert \vert_W:=\vert \vert W * x \vert \vert $$

Es müssen hier also die 3 Matrixnorm-Eigenschaften geprüft werden:

1. Definitheit

2. Absolute Homogenität

3. Dreiecksungelichung

Die Definitheit stellt keine Problem dar: $$ 0 \cdot W $$ ist null; falls x größer null ist, kann das Ergebnis nicht null sein

Bei der absoluten Homogenität stehe ich auf dem Schlauch.

Zu beweisen ist: $$ \vert \vert W \cdot x \vert \vert = \vert \vert W \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert $$

Bei Vektoren kann man das schön veranschaulichen: Beleibige Zahl mal Vektor vergleichen mit Betrag der beliebigen Zahl mal Betrag des Vektor. Mein Problem ist es nun, das alles mathematisch solide und für eine allgemeine Norm aufzuschreiben. In diesem Fall für Matritzen.

Für Tips wäre ich sehr dankbar.

Ich denke wenn der Groschen gefallen ist, werde ich die Dreiecksungelichung hinbekommen und poste das dann auch hier.

Comments

Zu beweisen ist: $$ \vert \vert W \cdot x \vert \vert = \vert \vert W \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert $$

Nein.

Zu beweisen ist \(\|c\cdot x\|_W=|c|\cdot \|x\|_W\) für beliebige

komplexe \(c\).

In der Aufgabe ist von Matrixnorm gar keine Rede ?!

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Es soll bewiesen werden, dass für eine invertierbare Matrix W $$ \in \mathbb{C}^{m \times m} $$ folgende Funktion eine Norm ist:$$ \vert \vert x \vert \vert_W:=\vert \vert W * x \vert \vert $$

Es geht darum zu beweisen, dass o.g. Funktion für eine invertierbare Matrix W eine Norm ist.

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Ds ist richtig. Aber was hat das mit einer
Matrixnorm zu tun?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixnorm

Die Norm liegt auf $$ \mathbb{C}^m $$ d.h. auf dem Raum der komplexen Matritzen.

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\(\mathbb{C}^m\) ist ein ganz normaler

m-dimensionaler \(\mathbb{C}\)-Vektorraum

versehen mit einer Norm \(x\mapsto\|x\|\).

\(\|W\|\) ist hier gar nicht definiert und ganz sicher nicht dasselbe

wie \(\|W\|_W\), was auch immer das bedeuten mag.

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Bei $$ \vert \vert x \vert \vert_W $$

soll W vermutlich der Index der neuen Norm sein.

Ich weiß nicht was du mit $$ \vert \vert W \vert \vert_W $$ meinst.

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Was bedeutet denn \(\|W\|\) bei dir?

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W ist eine invertierbare Matrix von C^m*m.

Sie könnte also im Raum C^m*m als Vektor aufgefasst werden. $$ \vert \vert W \vert \vert $$ wäre dann die Länge des Vektors.

D.h. ich muss die Absolute Homogenität für belieibge c zeigen, wie du gesagt hast.

Vielen Dank:)

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Aber es ist doch nirgendwo die Rede von \(\|W\|\),

sondern nur von \(\|x\|\) und von \(\|W\cdot x\|\).

Das sind doch "stinknormale" Normenausdrücke auf \(\mathbb{C}^m\).

Die Geschichte mit dem \(\|W\|\) hast du selbst eingeführt.

In der Aufgabe soll nur gezeigt werden, dass die Funktion

\(x\mapsto \|W\cdot x\|\) eine (Vektor-)Norm auf \(\mathbb{C}^m\) ist.

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Die Funktion ist $$ \vert \vert x \vert \vert_W:= \vert \vert W \cdot x \vert \vert $$

W ist eine invertierbare Matrix $$ \in \mathbb{C}^{m \cdot m} $$

Sei $$ \vert \vert \cdot \vert \vert $$ eine bliebige Norm auf $$ \mathbb{C}^m$$

Die Aufgabe ist zu beweisen, dass für die invertierbare Matrix W die Funktion ebenfalls eine Norm ist.

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Die Aufgabe ist zu beweisen, dass für die invertierbare Matrix W die Funktion ebenfalls eine Norm ist.

Ja, das sage ich doch die ganze Zeit!

Aber eine Matrixnorm wäre eine Norm auf \(\mathbb{C}^{m\times m}\).

Da stehen aber nur Vektornormen.

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Vielleicht wird es so klarer:

\(x\mapsto \|W\cdot x\|\) bildet jeden Vektor \(x\)

auf die Vektornorm seines Bildvektors \(W\cdot x\) ab.

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Jetzt habe ich verstanden.

Ich war aus irgendeinem Grund davon ausgegangen, dass die Norm in C^mxm liegt.