Beweis der Normeigenschaften bei der Norm (Multiplikation mit Matrix)

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben sei die Matrix }} \\ {\qquad T=\left(\begin{array}{cc}{-3} & {1} \\ {1} & {2}\end{array}\right)} \\ {\text { a) Zeigen Sie, dass durch }\|x\|_{T}=\|T x\|_{\infty} \text { eine Vektornorm auf dem } \mathbb{R}^{2} \text { definiert ist. }} \\ {\text { (Hinweis: Überprüfen Sie die Eigenschaften einer Vektornorm) }}\end{array} $$
$$ \begin{array}{l}{\text { b) Skizzieren Sie den Einheitskreis } B_{T}=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} |\|x\|_{T} \leq 1\right\}} \\ {\text { c) Geben Sie die }\|\cdot\|_{T} \text { zugeordnete Matrixnorm }} \\ {\qquad\|A\|_{T}:=\max _{x \neq 0} \frac{\|A x\|_{T}}{\|x\|_{T}}} \\ {\text { explizit durch die Matrixnorm }\|\cdot\|_{\infty} \text { an. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Bin aktuell dabei a zu bearbeiten, bei der Definitheit, ist die Norm doch die Wurzel derer Inhalte, oder? Generell bei der Def. der Eigenschaften. Habe da gerade Probleme mit.

Comments

Bin bei a) jetzt soweit∥A+y∥≤∥A∥+∥y∥∥A+y∥=max{|−3a+b+y1|,|a+2b+y2}∥A∥+∥y∥=max{|−3a+b|,|a+2b|}+max{|y1|,|y2|}‖A+y‖≤‖A‖+‖y‖‖A+y‖=max{|−3a+b+y1|,|a+2b+y2}‖A‖+‖y‖=max{|−3a+b|,|a+2b|}+max{|y1|,|y2|}

\begin{array}{c}{\|A+y\| \leq\|A\|+\|y\|} \\ {\|A+y\|=\max \left\{\left|-3 a+b+y_{1}\right|, | a+2 b+y_{2}\right\}} \\ {\|A\|+\|y\|=\max \{|-3 a+b|,|a+2 b|\}+\max \left\{\left|y_{1}\right|,\left|y_{2}\right|\right\}}\end{array}

wie führe ich das wieder zurück?

und bei b)∥x∥T=max{|−3a+b|,|a+2b|} ‖x‖T=max{|−3a+b|,|a+2b|}

\|x\|_{T}=\max \{|-3 a+b|,|a+2 b|\}

kann mir jemand erklären, wie ich daraus dann den Einheitskreis zeichnen kann? Wie komme ich auf die Werte für a und b?