Zeigen sie für die Matrix B:=A-δC mit δ∈ℝ+/{0} die folgende Aussage:

Question

Aufgabe:

Sei A eine invertierbare NxN Matrix, C∈ℝ^NxN und |||.||| eine zugeordnete Matrixnorm. Zeigen sie für die Matrix B:=A-δC mit δ∈ℝ₊/{0} die folgende Aussage:

Is |||A^-1C|||<\( \frac{1}{δ} \) dann ist B invertierbar.

In der Vorlesung hatten wir, dass wenn |||A|||<1 gilt (A ist eine NxN Matrix), dass dann I-A invertierbar ist (I:=Einheitsmatrix).

Problem/Ansatz:

Da δ positiv ist folgt: |||A^-1δC||<1, dann habe ich für δC (A-B) eingesetzt, dann hatte ich |||A^-1(A-B)||<.1

Jedoch sollte in |||.||| I-B stehen, weil dann ist I-(I-B) invertierbar, also B invertierbar.

Answer 1

Du hast es eigentlich fast geschafft. Es ist

$$B=A-dC=A(I-dA^{-1}C)$$

Nach Deinen Überlegungen ist \((I-dA^{-1}C)\) invertierbar, also auch B mit

$$B^{-1}=(I-dA^{-1}C)^{-1}A^{-1}$$

Gruß Mathhilf