Quadratische Gleichung. Oz Verfahren.

Question

Aufgabe:

Also wir hatten die quadratische Gleichung:

x^2 -mx -5=0

Für diese sollten wir rechnerisch beweisen, dass jede quadratische Gleichung dieser Form zwei Lösungen hat.

(Kann den auch hochladen)

Und jetzt hat sie uns gezeigt auf welcher Kurve sich die möglichen Schnittpunkte dieser Parabel befinden kann (Siehe Foto)

Dafür sollen wir nun eine Funktionsgleichung angeben und es gibt scheinbar ein Verfahren mit dem es einfach ist. Ich meine dass sie etwas von „Oz-Verfahren“ genuschelt hat… Kann mir da jemand helfen?

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... dass sie etwas von „Oz-Verfahren“ genuschelt hat…

Wenn man die Lehrerin nicht verstanden hat, dann kann man der Lehrerin sagen, dass man sie nicht verstanden hat.

Es ist anzunehmen, dass sie sich dann verständlich machen wird.

Answer 1

Der Wert der Diskriminanten der pq-Formel muss größer Null sein.

(m/2)^2+5 >0

(m/2)^2 > -5  gilt für alle m aus R, weil das Quadrat nicht negativ werden kann.

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Ich brauche eine Funktionsgleichung. Den Beweis haben wir ja schon.

Answer 2

Und jetzt hat sie uns gezeigt auf welcher Kurve sich die möglichen Schnittpunkte dieser Parabel befinden kann (Siehe Foto)

Nein, sie hat euch gezeigt, auf welcher Kurve alle möglichen SCHEITELpunkte liegen.

Dazu müsstest du zuerst einmal den Scheitelpunkt von f(x) = x²-mx-5 angeben. Kannst du das?

Dann sehen wir weiter.

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Ja den haben wir mit dem beweis da auch rausgefunden.

S(m/2 | -(m/2)-5)

Hier haben wir dann gesagt dass die y-Koordinate immer negativ ist und somit der Scheitelpunkt immer unter der x-Achse liegt -> zwei Lösungen

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(m/2 | -(m/2)-5)

Das stimmt nicht ganz

Für den Scheitelpunkt gilt

x=m/2

y=-m²/4+5.

Das ist ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den drei Unbekannten m, x und y.

Eliminiere m (z.B. durch Umstellen der ersten Gleichung nach m, was du dann in die zweite Gleichung einsetzt) , wodurch du die Gleichung der gesuchten Ortskurve aller Scheitelpunkte erhältst.

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Also meine Lehrerin hatte den von mir genannten Scheitelpunkt mit uns über die Scheitelpunktform rausgefunden.

Warum hast du denn zwei Gleichungen?

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Ich habe einfach nur angegeben, was die x-Koordinate vom Scheitelpunkt ist...

x=m/2

und was die y-Koordinate vom Scheitelpunkt ist.

y=-m²/4+5.

Du hattest bei der Angabe deines Scheitelpunkts ein "hoch 2" vergessen, er ist nämlich

S(m/2 | -(m/2)²-5).

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Ja stimmt, habs falsch abgetippt.

Und wie komme ich nun auf die Funktionsgleichung für die Kurve?

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x=m/2

y=-m²/4+5.



Das ist ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den drei Unbekannten m, x und y.

Eliminiere m (z.B. durch Umstellen der ersten Gleichung nach m, was du dann in die zweite Gleichung einsetzt) , wodurch du die Gleichung der gesuchten Ortskurve aller Scheitelpunkte erhältst.

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S\(( \frac{m}{2}| -(\frac{m}{2})^2-5) \)

\(x=\frac{m}{2}\)  Nach m auflösen : \(m=2x\)

 \(y=-(\frac{m}{2})^2-5 \)

\(m=2x\)    in   \(y=-(\frac{m}{2})^2-5 \) einsetzen:

\(y=-(\frac{2x}{2})^2-5=-x^2-5 \) ist die Ortskurve.

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Wenn ich das so umrechne komme ich auf y=x²-5.

Das ist ja prinzipiell die gleiche Parabel. Hätte da jetzt vor das x² ein - gemacht dass es zumindest mal nach unten geöffnet ist, aber bei GeoGebra sehe ich, dass die Scheitelpunkte nicht auf diesem Graphen liegen..

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@Moliets Ich habe zwar das gleiche ausgerechnet wie du aber bei Geogebra sieht es irgendwie nicht aus als würde es passen.

Aber das Wort "Ortskurve" reicht mir schon, damit kann ich es mir nun erklären und rechnen.

Weiß nicht wie ich da "Oz" verstanden habe Vielen Dank an euch beide (@Moliets / @abakus)

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Hallo,

:-)

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Genau das habe ich mir bei Geogebra angeschaut, aber meine Rechnung für die grüne Linie (kam auf x²-5) sah nicht aus, als würden alle schnittpunkte darauf liegen. Weiß leider nicht, wie ich bei geogebra sehe ob es passt. Aber wenn hier alle sagen dass es -x²-5 ist, dann vertraue ich darauf

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y=x²-mx-5

Scheitelpunktform:

y=x²-2•½mx+¼m²-¼m²-5

y=(x-½m)² -¼m²-5

S(½m|-¼m²-5)

m=2x → m²=4x²

-¼m²-5=-x²-5

y=-x²-5

:-)

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Ja, genau das habe ich auch gerechnet :) Danke!

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Dann müsstest du ja auch das Minuszeichen bekommen haben.

:-)

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Ja, hatte tatsächlich das - bei der y-Koordinate am anfang der Rechnung vergessen.