Inwiefern unterscheidet sich das Verfahren von Maxium suchen zu minimum suchen?

Question

Aufgabe:

Inwiefern unterscheidet sich das Verfahren von Maxium suchen zu minimum suchen? Ohne Ableitungen, nur mit quadratischer Ergänzung

Problem/Ansatz:

Beispiel: Zerlegen sie 36 so in 2 positive Summanden, dass das Quadrat der Sumannden möglichst klein wird

a+b=36

a^2+b^2= Summe

a^2 + (36-a)^2 = s

2a^2 + 1296-72a = S  | durch 2

...

...

... 2(a-18) ^2+648

Wie finde ich das Maximum im Vergleich zum Minimum?

Text erkannt:

Extremwertaufgabe Maximum
In welcher Weise muss man einen \( 40 \mathrm{~cm} \) langen Draht biegen, damit der Flacherinhalt eines entstandenen Rechtecks maximal wird?

Hierfür muss eine quadratische Gleichung aufgestellt werden.

\( \begin{array}{rlr} 2 a+2 b & =40 \mathrm{~cm} & 1: 2 \\ a+b & =20 & 1-b a \\ b & =20-a \end{array} \)

Flächeninhalt Rechteck \( A=a \cdot b \)

Einsetzen von 6

\( \begin{array}{l} A=a \cdot(20-a) \\ A=20 a-a^{2} \end{array} \quad D=\{a \in R \mid 0<a<20\} \)

Umwandeln in Scheitelpunktsform

\( A=20 a-a^{2} \quad \cdot(-1) \)
\( -A=a^{2}-20 a \quad \mid q-E \)
\( -A=a^{2}-20 a+100-100 \)
\( -A=(a-10)^{2} \sim 100 \quad \cdot(-1) \)
\( A=-(a-70)^{2}+100 \quad A \) in

Die Werte \( a=10 \mathrm{~cm} b=10 \mathrm{~cm} \) führen zum maximalen Flächeninhalt.

Answer 1

2(a-18)^2+648  hat, weil das Quadrat nie negativ ist, seinen

kleinsten Wert für a=18.

Der größte Wert wird erreicht, wenn das a möglichst groß wird.

Da es nicht größer als 36 werden kann (zwei positive Summanden),

muss man möglichst nahe an 36 herankommen. 36 selbst geht nicht,

dann wäre b=0, also nicht positiv. Da es zu jedem a<36

aber eines gibt, das zwischen a und 36 liegt, gibt es also kein a,

für das ein Maximum erreicht wird.