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Aufgabe:

Inwiefern unterscheidet sich das Verfahren von Maxium suchen zu minimum suchen? Ohne Ableitungen, nur mit quadratischer Ergänzung


Problem/Ansatz:

Beispiel: Zerlegen sie 36 so in 2 positive Summanden, dass das Quadrat der Sumannden möglichst klein wird

a+b=36

a2+b2= Summe

a2 + (36-a)2 = s

2a2 + 1296-72a = S  | durch 2

...

...

... 2(a-18) 2+648

Wie finde ich das Maximum im Vergleich zum Minimum?

t16492471524524423163157271878991.jpg

Text erkannt:

Extremwertaufgabe Maximum
In welcher Weise muss man einen 40 cm 40 \mathrm{~cm} langen Draht biegen, damit der Flacherinhalt eines entstandenen Rechtecks maximal wird?

Hierfür muss eine quadratische Gleichung aufgestellt werden.

2a+2b=40 cm1 : 2a+b=201bab=20a \begin{array}{rlr} 2 a+2 b & =40 \mathrm{~cm} & 1: 2 \\ a+b & =20 & 1-b a \\ b & =20-a \end{array}

Flächeninhalt Rechteck A=ab A=a \cdot b

Einsetzen von 6

A=a(20a)A=20aa2D={aR0<a<20} \begin{array}{l} A=a \cdot(20-a) \\ A=20 a-a^{2} \end{array} \quad D=\{a \in R \mid 0<a<20\}

Umwandeln in Scheitelpunktsform

A=20aa2(1) A=20 a-a^{2} \quad \cdot(-1)
A=a220aqE -A=a^{2}-20 a \quad \mid q-E
A=a220a+100100 -A=a^{2}-20 a+100-100
A=(a10)2100(1) -A=(a-10)^{2} \sim 100 \quad \cdot(-1)
A=(a70)2+100A A=-(a-70)^{2}+100 \quad A in

Die Werte a=10 cmb=10 cm a=10 \mathrm{~cm} b=10 \mathrm{~cm} führen zum maximalen Flächeninhalt.

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2(a-18)2+648  hat, weil das Quadrat nie negativ ist, seinen

kleinsten Wert für a=18.

Der größte Wert wird erreicht, wenn das a möglichst groß wird.

Da es nicht größer als 36 werden kann (zwei positive Summanden),

muss man möglichst nahe an 36 herankommen. 36 selbst geht nicht,

dann wäre b=0, also nicht positiv. Da es zu jedem a<36

aber eines gibt, das zwischen a und 36 liegt, gibt es also kein a,

für das ein Maximum erreicht wird.

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