Bestimmen Sie ,ob es sich bei den stationären Stellen um ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt handelt

Question

Gegeben sei die folgende Funktion:

f(x,y)=7⋅x^3−21⋅x−9⋅y^3+432⋅y

Frage: Bestimmen Sie ,ob es sich bei den stationären Stellen um ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt handelt.

->Wahrscheinlich total simpel, aber ich checke es nicht :D

Meine stationären Stellen habe ich bereits in der Aufgabe davor ermittelt, korrekt?

Answer 1

Hallo Maxi,

du musst für deine (richtigen) stationären Punkte

(-1 , -4)  ,  (-1, 4)  ,  (1 , -4)  und  (1 , 4)

jeweils die Determinante  der Hessematrix  berechnen:

\(\left|\begin{array}{ }f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ c}42x&0\\0&-54y\end{array}\right|=42x·(-54y)\)

Diese ist für (x,y) =

(-1 , -4)  bzw. (1 , 4)     < 0    →   Sattelpunkte an diesen Stellen

(-1 , 4)   bzw. (1 , -4)    > 0    →   Extrempunkte an diesen Stellen

Einsetzen  der beiden Extremstellen in  f_xx =  42x  ergibt

f_xx (1 , -4)   > 0   →  (lokale) Minimumstelle

f_xx (-1 , 4)   < 0   →  (lokale) Maximumstelle

Hier kannst du dir den Graphen ansehen:

<a href="http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-5&xmax=5&ymin=-5&ymax=5&zmin=Auto&zmax=Auto&f=7%2Ax%5E3-21%2Ax-9%2Ay%5E3%2B432%2Ay

Du kannst ihn (mit den Pfeilen unter dem Bild) sogar in alle Richtungen drehen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Bereits deine Lösung ist verkehrt wie du mit Wolfram relativ einfach überprüfen kannst.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+7x%5E3-21x-9y%5E3%2B432y

Bestimme dann z.B. mit der Hesse-Matrix die Art der Extrema

f''(x, y) = [42·x, 0; 0, - 54·y]