Taylorpolynom an stationären Stellen

Question

(a) Gegeben sei die Funktion \( f(x)=x^{4}+4 x^{3}+2 x^{2}+12 x+1 \). Bestimmen Sie eine kritische Stelle \( x_{0} \), für die \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \) gilt.
\( \)

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung der Funktion$$f(x)=x^4+4x^3+2x^2+12+1$$kannst du sicher selbst bestimmen:$$f'(x)=4x^3+12x^2+4x+12$$Hier klammerst du die \(4\) aus:$$f'(x)=4\cdot(x^3+3x^2+x+{\color{blue}3})$$

Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms in Klammern müssen Teiler von der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \(\color{blue}3\) am Ende. Die Teiler von \(3\) sind \(\pm1\) und \(\pm3\). Wir setzen diese 4 Teiler ein und finden eine Nullstelle bei \(\pink{x_0=-3}\). Das heißt:$$f'(-3)=0$$

Comments

Wie immer eine super Antwort :)

Answer 2

f ' (x) = 4x^3 + 12x^2 + 4x + 12 = x^2 ( 4x+12) +  4x + 12 = (x^2+1)( 4x + 12 )

Also f '( -3) = 0.

Comments

Vielen Dank :)