Berechnen Sie alle stationären Stellen der Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle stationären Stellen der Funktion
f(x,y)= (x^2+y^2)*e^-y und untersuchen Sie, welcher Typ (d.h. relatives Minimum, relatives
Maximum oder Sattelpunkt) an den jeweiligen Stellen vorliegt

Problem/Ansatz:

Ich habe die partielle Ableitung bestimmt

df/dx = 2xe^-y

df/dy = (-x^2-y^2+2y)e^-y

und die erste Gleichung nach x aufgelöst.

2xe^-y=0

2x=0

x=-2

Ich habe jetzt Probleme die 2. Gleichung zu lösen und weiß nicht wie ich dann anschließend den stationären Punkt untersuchen soll.

Answer 1

2x=0
x = -2

Laut deinem Ergebnis ist 2·(-2) = 0. Korrektes Ergebnis ist

(1)        x = 0.

Ich habe jetzt Probleme die 2. Gleichung zu lösen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Deine Gleichung

(2)        (-x²-y²+2y)e^-y = 0

zerfällt also in die zwei Gleichungen

(3)        -x²-y²+2y = 0

(4)        e^-y = 0.

Es reicht dass eine dieser beiden Gleichungen erfüllt ist, damit Gleichung (2) erfüllt ist.

Gleichung (3) liefert

(5)        x = √(-y² + 2y).

Setze (5) in (1) ein und löse nach y auf. Das Paar (x, y) ist dann ein stationärer Punkt

Gleichung (4) hat keine Lösung, liefert also keine weiteren stationären Punkte.