Spektralnorm kleiner gleich der Zeilensummennorm?

Question

Aufgabe:

Ist die Spektralnorm von symmetrischen Matrizen immer kleiner gleich der Zeilensummennorm der Matrix?

Comments

Wie ist denn die Spektralnorm definiert?

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Die Spektralnorm ist definiert als die Wurzel des Spektralradius von (A^TA), für symmetrische Matrizen entspricht die Spektralnorm also genau dem größten Eigenwert

Answer 1

Hallo:-)

Es ist hilfreich, wenn du zunächst einmal kurz aufführst, wie du die Matrixnormen bezeichnest, also Notation und welche Beziehungen/Abschätzungen du bereits von Matrixnormen kennst.

Und ja, deine Vermutung stimmt für symmetrische Matrizen.

Answer 2

Es sei s ein Eigenwert der n-n-Matrix A mit Eigenvektor v. Dann gilt für jede Vektornorm:

$$|s|=\frac{\|sv\|}{\|v\|}=\frac{\|Av\|}{\|v\|} \leq \sup \{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \mid x \neq 0\}=\|A\|$$

D.h. die Operatornorm (oder zugeordnete Matrizennorm) \(\|A\|\) ist eine obere Abschätzung für jeden Eigenwert-Betrag. Die Zeilensummen-Norm ist die Operatornorm zu Maximums-Norm. Daher gilt die Aussage.

Comments

Dankeschön, kann man also sagen, die Spektralnorm ist die "kleinste Norm" für Matrizen?