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Aufgabe:


Im folgenden bezeichnet \|\cdot\| die Euklidische Norm. Gegeben seien die Daten
A=(020022),b=(040.01),b~=(0.0140.01) A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0.01 \end{array}\right), \quad \tilde{b}=\left(\begin{array}{c} 0.01 \\ 4 \\ 0.01 \end{array}\right)

a) Bestimmen Sie zu den linearen Ausgleichsproblemen die Lösung x x zu bAx \|b-A x\| und die Lösung x~ \tilde{x} zu b~Ax~ \|\tilde{b}-A \tilde{x}\| mittels der Normalgleichungen. Folgern Sie damit auch die relative Abweichung x~xx \frac{\|\tilde{x}-x\|}{\|x\|} .

b) Berechnen Sie die Konditionszahl κ2(A) \kappa_{2}(A) . Hinweis: κ2(A)=κ2(AA) \kappa_{2}(A)=\sqrt{\kappa_{2}\left(A^{\top} A\right)} .

c) Geben Sie mit den Resultaten aus der Vorlesung eine obere Schranke für x~xx \frac{\|\tilde{x}-x\|}{\|x\|} an, welche nicht die Kenntnis von x~ \tilde{x} voraussetzt. Vergleichen Sie diese Schranke mit der tatsächlichen Abweichung aus Teil (a).




könnte mir jemand bitte dabei helfen?


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Die erste Aufgabe besteht doch nur aus dem Lösen von 2 2-2-Gleichungssystem, das wirst Du doch wohl können.

Gruß Mathhilf

Könntest du mir bitte bei b) helfen?

:)

Hast du keine Idee? :(

Ich weiß nicht, was Du unter "Idee" verstehst. Du sollst doch nur die Kondition ausrechnen, die auf dem Blatt definiert ist. Was ist das Problem?

Ok Danke :))

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Zur optimalen Lösung der Gleichung(020022)(x1x2)=(040,01)\left(\begin{array}{rr}0 & 2\\0 & 0\\2 & 2\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{rr}0\\4\\0,01\end{array}\right)

gehen wir zur Normalengleichung über(002202)(020022)(x1x2)=(002202)(040,01)\left(\begin{array}{rr}0 & 0 & 2\\2 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0 & 2\\0 & 0\\2 & 2\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{rr}0 & 0 & 2\\2 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0\\4\\0,01\end{array}\right)(4448)(x1x2)=(0,020,02)\left(\begin{array}{rr}4 & 4\\4 & 8\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\binom{0,02}{0,02}Das liefert als Lösung:x=(x1x2)=(0,0050)\vec x=\binom{x_1}{x_2}=\binom{0,005}{0}

Eine entsprechende Rechnung für den Ergebnisvektor b~\tilde b liefert:x~=(x~1x~2)=(00,005)\tilde x=\binom{\tilde x_1}{\tilde x_2}=\binom{0}{0,005}

Damit solltest du nun alle anderen Größen bestimmen können...

Avatar von 152 k 🚀

Danke erstmal für deine Antwort! :)

soll ich noch die Norm von ||b - A*x|| oder nicht?

Und wie kann ich die relative Abweichung ||x~ - x|| / ||x|| berechnen?


:)



Könntest du mir bitte weiterhelfen? :( ....

Die Lösungen zu den beiden GleichungenbAxMin;b~Ax~Min\left\|b-Ax\right\|\to\text{Min}\quad;\quad\|\tilde b-A\tilde x\|\to\text{Min}haben wir ja bereits bestimmt.

Die relative Abweichung kannst du nun berechnen:x~xx=(00,005)(0,0050)(0,0050)=0,0052+0,00520,005=2\frac{\|\tilde x-x\|}{\|x\|}=\frac{\left\|\binom{0}{0,005}-\binom{0,005}{0}\right\|}{\left\|\binom{0,005}{0}\right\|}=\frac{\sqrt{0,005^2+0,005^2}}{0,005}=\sqrt2

Was eine Konditionszahl sein soll, weiß ich leider nicht. Da müsstest du mal in deiner Vorlesung gucken, wie ihr das definiert habt.

Danke erstmal für deine Antwort! :)


Unbenannt33.PNG



Unbenannt.PNG



Ist das was du wolltest?

:)

Lt. Wikipedia ist die Konditionszahl κ2\kappa_2 'normaler Matrizen' MM auch κ2=λmax(M)λmin(M)\kappa_2 = \left| \frac{\lambda_{\max}(M)}{\lambda_{\min}(M)}\right|und da κ2(A)=κ2(ATA)\kappa_2(A) = \sqrt{\kappa_2\left( A^TA\right)}sowie die Eigenwerteλmax(ATA)=2(3+5),λmin(ATA)=2(35)\lambda_{\max}\left( A^TA\right) = 2(3+\sqrt 5), \quad \lambda_{\min}\left( A^TA\right) = 2(3-\sqrt 5)ist hierκ2(A)=3+535=12(3+5)2,62\kappa_2(A) = \sqrt{\frac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}} = \frac 12\left(3+\sqrt 5\right) \approx 2,62

Alles klar, Danke für die tolle Hilfe! :)

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