Kondition eines linearen Ausgleichsproblems

Question

Aufgabe:

Im folgenden bezeichnet $\|\cdot\|$ die Euklidische Norm. Gegeben seien die Daten
$$A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0.01 \end{array}\right), \quad \tilde{b}=\left(\begin{array}{c} 0.01 \\ 4 \\ 0.01 \end{array}\right)$$

a) Bestimmen Sie zu den linearen Ausgleichsproblemen die Lösung $x$ zu $\|b-A x\|$ und die Lösung $\tilde{x}$ zu $\|\tilde{b}-A \tilde{x}\|$ mittels der Normalgleichungen. Folgern Sie damit auch die relative Abweichung $\frac{\|\tilde{x}-x\|}{\|x\|}$.

b) Berechnen Sie die Konditionszahl $\kappa_{2}(A)$. Hinweis: $\kappa_{2}(A)=\sqrt{\kappa_{2}\left(A^{\top} A\right)}$.

c) Geben Sie mit den Resultaten aus der Vorlesung eine obere Schranke für $\frac{\|\tilde{x}-x\|}{\|x\|}$ an, welche nicht die Kenntnis von $\tilde{x}$ voraussetzt. Vergleichen Sie diese Schranke mit der tatsächlichen Abweichung aus Teil (a).

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Comments

Die erste Aufgabe besteht doch nur aus dem Lösen von 2 2-2-Gleichungssystem, das wirst Du doch wohl können.

Gruß Mathhilf

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Könntest du mir bitte bei b) helfen?

:)

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Hast du keine Idee? :(

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Ich weiß nicht, was Du unter "Idee" verstehst. Du sollst doch nur die Kondition ausrechnen, die auf dem Blatt definiert ist. Was ist das Problem?

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Ok Danke :))

Answer 1

Aloha :)

Zur optimalen Lösung der Gleichung$$\left(\begin{array}{rr}0 & 2\\0 & 0\\2 & 2\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{rr}0\\4\\0,01\end{array}\right)$$

gehen wir zur Normalengleichung über$$\left(\begin{array}{rr}0 & 0 & 2\\2 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0 & 2\\0 & 0\\2 & 2\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{rr}0 & 0 & 2\\2 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0\\4\\0,01\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{rr}4 & 4\\4 & 8\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\binom{0,02}{0,02}$$Das liefert als Lösung:$$\vec x=\binom{x_1}{x_2}=\binom{0,005}{0}$$

Eine entsprechende Rechnung für den Ergebnisvektor $\tilde b$ liefert:$$\tilde x=\binom{\tilde x_1}{\tilde x_2}=\binom{0}{0,005}$$

Damit solltest du nun alle anderen Größen bestimmen können...

Comments

Danke erstmal für deine Antwort! :)

soll ich noch die Norm von ||b - A*x|| oder nicht?

Und wie kann ich die relative Abweichung ||x~ - x|| / ||x|| berechnen?

:)

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Könntest du mir bitte weiterhelfen? :( ....

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Die Lösungen zu den beiden Gleichungen$$\left\|b-Ax\right\|\to\text{Min}\quad;\quad\|\tilde b-A\tilde x\|\to\text{Min}$$haben wir ja bereits bestimmt.

Die relative Abweichung kannst du nun berechnen:$$\frac{\|\tilde x-x\|}{\|x\|}=\frac{\left\|\binom{0}{0,005}-\binom{0,005}{0}\right\|}{\left\|\binom{0,005}{0}\right\|}=\frac{\sqrt{0,005^2+0,005^2}}{0,005}=\sqrt2$$

Was eine Konditionszahl sein soll, weiß ich leider nicht. Da müsstest du mal in deiner Vorlesung gucken, wie ihr das definiert habt.

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Danke erstmal für deine Antwort! :)

Ist das was du wolltest?

:)

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Lt. Wikipedia ist die Konditionszahl $\kappa_2$ 'normaler Matrizen' $M$ auch $$\kappa_2 = \left| \frac{\lambda_{\max}(M)}{\lambda_{\min}(M)}\right|$$und da $$\kappa_2(A) = \sqrt{\kappa_2\left( A^TA\right)}$$sowie die Eigenwerte$$\lambda_{\max}\left( A^TA\right) = 2(3+\sqrt 5), \quad \lambda_{\min}\left( A^TA\right) = 2(3-\sqrt 5)$$ist hier$$\kappa_2(A) = \sqrt{\frac{3+\sqrt 5}{3-\sqrt 5}} = \frac 12\left(3+\sqrt 5\right) \approx 2,62$$

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Alles klar, Danke für die tolle Hilfe! :)