Aufgabe:
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14. Der Hintergrund für diese Aufgabe ist die sog. Bestapproximation: \( \operatorname{Im} \mathbb{R}^{3} \) suche man zu einem Punkt den nächst gelegenen Punkt einer Ebene. Idee: Man fälle das Lot von dem Punkt auf die Ebene. Exakt dasselbe Prinzip klappt in jedem Vektorraum, sofern ,, Abstand" bzw. , ,Länge" über ein Skalarprodukt definiert wird. Rechnen Sie nach: Ist \( V \) ein Vektorraum (mit dem Körper \( \mathbb{R} \) oder \( \mathrm{C} \) ) mit Skalarprodukt, \( \vec{v} \in V \), ferner \( \left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \ldots, \vec{e}_{n}\right\} \) ein sog. Orthonormalsystem (kurz ONS) (d. h. Vektoren aus \( V \) mit \( \left\langle\vec{e}_{k} \mid \vec{e}_{l}\right\rangle=0 \) für \( k, l=1,2, \ldots, n \), falls \( k \neq l \) ist, sowie \( \left\langle\vec{e}_{k} \mid \overrightarrow{e_{k}}\right\rangle=1 \), so gelten für
beliebige Zahlen \( \mu_{1}, \ldots, \mu_{n} \) :
(a) \( \left|\vec{v}-\sum \limits_{k=1}^{n} \mu_{k} \vec{e}_{k}\right|^{2}=|\vec{v}|^{2}-\sum \limits_{k=1}^{n} \overline{\mu_{k}}\left\langle\vec{v} \mid \vec{e}_{k}\right\rangle-\sum \limits_{k=1}^{n} \mu_{k} \overline{\left\langle\vec{v} \mid \vec{e}_{k}\right\rangle}+\sum \limits_{k=1}^{n} \mu_{k} \overline{\mu_{k}} \)
Hier geht es den Betrag von Vektoren (über das Skalarprodukt definiert), dazu vgl. Eigenschaften eines Skalarproduktes bzw. des darüber definierten Betrages im Skript
S. 103 .
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{n}\left|\left\langle\vec{v} \mid \vec{e}_{k}\right\rangle-\mu_{k}\right|^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n}\left|\left\langle\vec{v} \mid \vec{e}_{k}\right\rangle\right|^{2}-\sum \limits_{k=1}^{n} \overline{\mu_{k}}\left\langle\vec{v} \mid \vec{e}_{k}\right\rangle-\sum \limits_{k=1}^{n} \mu_{k} \overline{\left\langle\vec{v} \mid \vec{e}_{k}\right\rangle}+\sum \limits_{k=1}^{n} \mu_{k} \overline{\mu_{k}} \)
Diesmal geht es jedoch um den Betrag von komplexen Zahlen, dazu vgl. Skript S. \( 17-18 \).
Diese beiden Gleichungen haben erst einmal keinerlei Zusammenhang untereinander, gewisse Ähnlicheiten der rechten Seiten sind rein zufällig.
Problem/Ansatz:
Weis jemand vielleicht wie man das rechnet
