Das ist eine didaktisch (sage ich als Laie) interessante Aufgabe.
Eigentlich gehört es zum guten Ton in der Mathematik, dass man zu einer solchen Gleichung einen Definitionsbereich angibt, in dem man Lösungen sucht. Hier bieten sich zunächst nur reelle positive Zahlen an, weil nur für diese eine allgemeine Potenz definiert ist. Und auch in den Lösungsvorschlägen wird dies ja benutzt - indem lg(x) verwendet wird.
Man erhält also für \(x \in \R_{>0}\) (siehe ggT2)
$$x^{\lg(x^2)}=10^{32} \Rightarrow x=10^4, x=10^{-4}$$
Dann "merkt man", dass die linke Seite auch für negative 10-er Potenzen definiert ist - durch Basis-Rechen-Operationen - und erhält 2 weitere Lösungen