Wie lautet jeweils die Lösungsmenge?

Question

Aufgabe:

Im Folgenden sind die auf Zeilen-Stufen-Form gebrachten erweiterten Koeffizientenmatrizen zu linearen Gleichungssystemen gegeben. Wie lautet jeweils die Lösungsmenge?

Problem/Ansatz:

Gegeben ist also folgende Matrix (erste Matrix links oben):

Wieso ist mein Rechenweg falsch? Mein µ ist nicht ganz korrekt. In der Lösung steht als erstes -2 * µ, bei mir allerdings 0 * µ

Hier die Lösung:

Answer 1

Dann rechne bitte nochmal I-2*IV. Dann sollte klar sein, wo die \(-2\mu\) herkommen.

Comments

Verstehe ich nicht? Wo genau soll ich das denn überhaupt berechnet haben?

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Du möchtest doch nur Einsen auf der Diagonalen haben. Also musst du noch I-2*IV rechnen.

Answer 2

Hallo

Es ist nicht einzusehen, warum du die Anfangsmatrix noch umformst? Aber das kann man natürlich, aber wie du zu der grünen Zeile kommst ist mir nicht klar, Ausserdem, wenn man Zeilen subtrahiert muss man das auch mit der rechten Seite machen , das sehe ich bei dir nicht.

Wenn du λ=0 μ=1 setzt ist die Gleichung der ersten Zeile  in der Ausgangsgleichung nicht erfüllt, die anderen habe ich nicht mehr überprüft

lul

Comments

Es ist durchaus üblich für die Variablen, die man frei wählen kann eine zusätzliche Zeile in die ZSF einzufügen. Das passiert hier. Damit lässt sich dann auch - richtig umgeformt vorausgesetzt - direkt die Darstellung der Lösung ablesen.

Answer 3

Aloha :)

Du musst gar nicht mehr so viel tun. Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen. Das ist bei deiner Startmatrix schon der Fall:

$$\begin{array}{cccccc|r}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & =\\\hline\pink1 & 3 & \pink0 & 2 & \pink0 & \pink0 & 2\\\pink0 & 0 & \pink1 & 1 & \pink0 & \pink0 & -1\\\pink0 & 0 & \pink0 & 0 & \pink1 & \pink0 & 5\\\pink0 & 0 & \pink0 &0 & \pink0 & \pink1 & 3\\\pink0 & 0 & \pink0 & 0 & \pink0 & \pink0 & 0\end{array}$$

Jede Zeile beschreibt eine Gleichung, die du nach der Variablen mit der pinken \(1\) umstellen kannst:$$\pink{x_1}=2-3x_2-2x_4$$$$\pink{x_3}=-1-x_4$$$$\pink{x_5}=5$$$$\pink{x_6}=3$$

Damit kannst du nun alle Lösungen des Gleichungssystems hinschreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-3x_2-2x_4\\x_2\\-1-x_4\\x_4\\5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\0\\5\\3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$Da du für die Koordinaten \(x_2\) und \(x_4\) jede beliebige reelle Zahl einsetzen darst, kannst du sie noch durch 2 beliebige Variablen \(\lambda\) und \(\mu\) ersetzen. Das ist aber nur Kosmetik.