Aufgabe:
Sei \( a<b \) und \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) eine differenzierbare Funktion. Kreuzen Sie die beiden richtigen Aussagen an!
(a) Gilt \( a<\xi<\eta<b \) und \( f(\xi)=f(\eta)=0 \), so besitzt \( f^{\prime} \) eine Nullstelle.
(b) Ist \( f \) streng monoton wachsend, so gilt \( f^{\prime}(x)>0 \) für alle \( x \in(a, b) \).
(c) Ist \( f \) zweimal differenzierbar und \( x_{0} \) eine lokale Minimumstelle von \( f \), so gilt \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \) und \( f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0 \).
(d) Gilt \( a<x_{1}<x_{2}<b \), so gibt es ein \( x \) mit \( x_{1}<x<x_{2} \) und \( \left(x_{2}-x_{1}\right) f^{\prime}(x)= \) \( f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) \).
Problem/Ansatz:
Punkt a) ist richtig, denn 0 differenziert gibt mir 0. d) Ist ebenfalls richtig, das ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. b) ist offenbar falsch, weil strenger monotoner Wachstum in unserem Buch nur für geschlossene Intervalle so definiert ist, wobei mir nicht ganz klar ist, warum das nur dann funktioniert. Bei c) rätsle ich aber: Was ist an dieser Aussage falsch? Ein Sattelpunkt ist doch kein Extrempunkt? Wenn f''(x)>0 und f(x)'=0, dann ist es definitiv eine Minimumstelle, also müsste das doch umgekehrt gelten, wenn x eine lokale Minimumstelle ist?
