Zeige, dass kein Minimum und Maximum vorhanden ist

Question

meine Aufgabe:

Ich muss zeigen, dass in (0,0) ein Sattelpunkt liegt/kein Minimum und Maximum vorhanden ist.

Bisher habe ich:

Die Ableitungen gebildet bis ich zur Hesse Matrix kam, die folgender Maßen aussieht:

$$ \begin{pmatrix}  10y-72x^2 & 10x \\ 10x & -2 \end{pmatrix} $$

Daraus folgt für den Punkt  (0,0) eingesetzt wiederum:

$$ \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$

und somit habe ich die Eigenwerte 0 und -2, was auf negativ semidefinit schließen lässt.

Leider ist der Spaß hiermit nicht vorbei, da ich nicht zeigen kann das es kein Maximum oder Minimum gibt, auch mein Skript hat nicht einmal an diese Aufgabe herangereicht, was nicht sehr optimal ist und da wir gerade erst mit partiellen Funktionen begonnen haben wäre etwas Hilfe nützlich. Meine Ideen waren bisher die Bedingungen aus Analysis 1 zu verwenden, z.B. f''(0,0) = 0, was sich jedoch direkt geklärt hat bei der Ableitung nach y von 10y-72x².

Wenn irgendjemand hier irgendwelche Ideen hat oder einen Fehler entdeckt, ich freue mich zu diesem Zeitpunkt über jede Hilfe die ich kriegen kann.

Grüße

Comments

Skizziere die Nullniveaulinien der Funktion und gib für alle anderen Punkte an, ob die Funktion da positiv oder negativ ist.

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Finde leider überhaupt nichts zu "Nullniveaulinen" auf Google

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Meinst du sowas wie: Ich soll links und rechts von dem Punkt der Funktion gucken? (Wenn ja weiß ich nur nicht ob ich was bestimmtes beachten muss, da ja x und y)

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Eine Niveaulinie (auch Hoehenlinie) der Funktion f zum Wert C ist die Menge aller Punkte (x, y), in denen f(x, y) = C gilt.

Du sollst also alle Punkte (x, y) der Ebene in einer Skizze markieren, für die f(x, y) = 0 gilt.

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Jedoch weiß ich nun leider nicht in welchem Zusammenhang diese Ebene zu meiner Aufgabe steht, genauer formuliert, "was kann ich oder sollte ich daraus erkennen".

Hätte somit:

f(x,y) = (-y-2x²)(y-3x²)

(-y-2x²)(y-3x²) = 0

Komme somit auf:

y1= 5/2 * x² +$$ \sqrt{-6*x^4+\frac{25*x^4}{4}} $$

y2= 5/2 * x² -$$ \sqrt{-6*x^4+\frac{25*x^4}{4}} $$

Somit würde ich vermutlich 2 Mengen machen können die die Höhenlinie beschreiben.

Jedoch kann ich das ganze leider überhaupt nicht in irgendeinen Zusammenhang einordnen.

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Es gilt die Annullierungsregel: Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.

Die Nullniveaulinien sind die Parabeln y = 2x² und y = 3x². Die "zersaegen" die Ebene in vier Teile. Aus Stetigkeitsgruenden hat die Funktion auf jedem dieser Teile ein einheitliches Vorzeichen.

Fertige die Skizze an. Sie ist gleichbedeutend mit der Lösung der Aufgabe.

Answer 1

Mit dem Tipp über die Zerschneidung der

Ebene durch 2 Parabeln geht es auch indirekt :

Angenommen es sein ein Min in (0,0).

Dann müsste in einer Umgebung von (0,0) gelten

               f(x,y) ≥ 0.

also     - ( y-2x² ) (y-3x²)  ≥ 0

In jeder Umg. von (0,0) liegen Punkte der Form (x,0) .

für diese alle müsste dann gelten     - ( 0-2x² ) (0-3x²)  ≥ 0

                                  - 6x⁴  ≥ 0   Widerspruch  für x≠0.

Angenommen es sein ein Max in (0,0).

Dann müsste in einer Umgebung von (0,0) gelten

               f(x,y) ≤ 0.

also     - ( y-2x² ) (y-3x²)  ≤ 0

In jeder Umg. von (0,0) liegen Punkte der Form (x,2,5*x²) .

Das eingesetzt gäbe  0,25x⁴  ≤ 0 also auch hier ein Widerspruch!

Also weder Min noch Max.

Comments

Danke dir für die sehr gut verständliche Erklärung :)