Bestimmen Sie, falls vorhanden, das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum folgender Teilmengen von ℝ

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, falls vorhanden, das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum folgender Teilmengen von ℝ

B = { x ∈ ℝ| ∃ y ∈ ℝ :  (x + 1)² + 5y² + < 4 }

Answer 1

Aloha :)

$$(x+1)^2+5y^2<4\quad\implies\quad\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{5y^2}{4}<1\quad\implies\quad\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{y^2}{\frac45}<1$$

Das ist die Gleichung für eine Ellipse mit Mittelpunkt \((-1|0)\), horizontaler Halbachse \(\sqrt4=2\) und vertikaler Halbachse \(\sqrt{\frac45}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac25\sqrt5\). Allerdings nur das "Innere", der Rand gehört -- wegen des \(<\) Symbols -- nicht dazu.

Jetzt musst du dir die Mengendefinition genau ansehen:$$B=\{x\in\mathbb R\,\big|\,\exists y\in\mathbb R\colon\;\ldots\}$$"Die Mange aller \(x\in\mathbb R\), für die es ein \(y\in\mathbb R\) gibt, sodass..."

Die \(x\)-Werte liegen bei der Ellipse im Intervall \((-3|1)\). Das Infimum ist daher \((-3)\) und das Supremum ist \(1\). Da aber weder das Infiimum noch das Supremum selbst zur Menge \(B\) gehören, können wir kein Minimum und kein Maximum festlegen.