Entscheiden Sie, ob die Mengen ein Minimum, Maximum, Infimum oder Supremum in ℝ besitzen

Question

Aufgabe:

1. \( A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} \leq 2\right\} \)

2. \( B=\left\{\frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)

3. \( C=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}+2 x+2>5, x<0\right\} \)

4. \( D=\left\{\frac{m+1}{m+n} \mid m, n \in \mathbb{N}\right\} \)

a) Entscheiden Sie, ob die Mengen ein Minimum, Maximum, Infimum oder Supremum in \( \mathbb{R} \) besitzen und bestimmen Sie diese Werte gegebenenfalls. Tragen Sie Ihre Ergebnisse in die Tabelle ein. Geben Sie dieses Arbeitsblatt mit ab.

	Minimum	Maximum	Infimum	Supremum
A
B
C
D

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht ganz klar, was die Unterschiede zwischen Min Max Inf und Sup sind.

Wenn jemand so freundlich wäre und mir diese Aufgabe eventuell lösen könnte, könnte ich die darauffolgenden Aufgaben ebenfalls beenden. Ich bräuchte nur ein Beispiel sozusagen.

Comments

Der Unterschied liegt darin, dass das Supremum die kleinste mögliche obere Schranke ist. Dieser Wert selbst muss aber nicht in der eigentlichen Menge liegen, während das Maximum auch das die kleinste mögliche obere Schranke ist, die aber selbst wieder in der Menge enthalten ist.

Z.b. Gilt für die erste Menge, dass wurzel 2 die kleinste mögliche obere Schranke ist. Sie liegt aber selbst in der Menge. Also ist sie das Maximum

Answer 1

Hallo

ein Min und Max sind Werte, die eine Funktion auf ihrem Definitionsgebiet annimmt, inf und sup sind größte untere und  kleinste obere Schranken, Beispiel a) f(x)=x;  0<x<1 und b) f(x)=x; 0<0x<=1

beide haben inf=0 und sup=1 aber bei a ist inf(f)=min(f) und sup(f)=max(f)

b) hat kein min und kein Max

in deiner B ist min=inf=0. sup=1 kein Max

indem Sinne untersuch jetzt alle und wir korrigieren.

Gruß lul