Supremum und Infimum von Mengen | Maximum, Minimum

Question

\( M=\left\{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{m}}: n, m \in \mathbb{N}\right\} \)

Ich soll mit folgender Definition das sup M , max M , inf M, min M bestimmen, sofern diese existieren.  Dazu muss ich ja zeigen, dass die menge von oben und unten beschränkt ist.

ich hab als untere Schranke 3/2 raus für n = 1 , m = 1 aber wie komme ich auf die obere Schranke?

Definiton:

Sei \( M \subset \mathbb{R}, M \neq \emptyset \), nach oben beschränkt. Dann:
\( s=\sup M \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} (i) \quad & x \leq s \text { für alle } x \in M \\ (\text { ii }) & \text { Es gibt eine Folge }\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { in } M \text { mit } x_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} s \end{array}\right. \)
Sei \( M \subset \mathbb{R}, M \neq \emptyset \), nach unten beschränkt. Dann:
\( s=\inf M \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} (\text { iii }) & x \geq s \text { für alle } x \in M \\ (\text { iv }) & =(\text { ii }) \end{array}\right. \)

Answer 1

untere Schranke 3/2

Das ist nicht richtig. Mit n = 2, m = 1 ist 1 + 1/2 - 1/2¹ = 1 ∈ M und 1 < 3/2.

aber wie komme ich auf die obere Schranke?

Du musst in dem Term \(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{m}}\) das \(n\) so wählen, dass \(\frac{1}{n}\) möglichst groß ist (damit möglichst viel addiert wird) und das \(m\) so wählen, dass \(\frac{1}{2^m}\) möglichst klein ist (damit möglichst wenig subtrahiert wird).

Comments

ja das habe ich getan, ich hab gesagt das -1/2^m <= 0 und bei 1/n <= ?

was wähle ich denn da? da bin ich etwas verwirrt.

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und ihre rechnung ist doch falsch für die untere schranke für n und m = 2 wäre das ja:

1+ 1/2 - 1/4 , und nicht 1 + 1/2 - 1/2 , somit ist 3/2 kleinste schranke

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für n und m = 2

Wieso ändert du n und m "im Gleichschritt"? Die beiden haben nichts miteinander zu tun. Du kannst m=1 wählen und n gegen unendlich gehen lassen.

Und was hat deine Berechnung 1+ 1/2 - 1/4 ,mit einer angeblichen Schranke 3/2 zu tun?

1+ 1/2 - 1/4 , ist 5/4 (aber die unteren Schranken sind noch kleiner).

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ja weil Herr Oswald das so gemacht hat, er hat ja n = 2 und m = 2 genommen

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Er wollte dir nur ein Beispiel nennen, wo das Ergebnis kleiner als 3/2 ist. Mit 1 hat er sich verrechnet.

Aber 5/4 ist auch kleiner als 3/2.

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Ah stimmt ich verstehe, aber wie genau komme ich dann wirklich auf die alles kleinste Schranke muss ich da einfach testen?

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Kann es sein, dass es weder sup und max noch inf und min gibt ?

da wir ja für n und m immer eine zahl finden damit aus der rechnung immer was kleineres rauskommt. und für das SUpremum genauso wenn ich -1/2^m gegen 0 abschätze und 1/n gegen unendlich

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Die kleinste obere Schranke (Supremum) ist 1+1-0.

Die größte untere Schranke (Infimum) ist 1+0-0,5.

Diese beiden beiden Werte können aber konkret nicht erreicht werden, also weder Maximum noch Minimum.

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ja weil Herr Oswald

oswald. Nicht Herr Oswald.

er hat ja n = 2 und m = 2 genommen

Ich meinte n = 2 und m = 1. Ich habe das korrigiert.