Zeigen Sie, dass (Z/n∖{[0]n},⊙,[1]n) genau dann eine Gruppe ist, wenn n prim ist.

Question

Aufgabe:

Es sei n∈N und Z/n der Ring der ganzen Zahlen modulo n .

Zeigen Sie, dass (Z/n∖{[0]n},⊙,[1]n)  genau dann eine Gruppe ist, wenn n prim ist.

Problem/Ansatz:

Hi, ich weiß, dass ich hierfür zeigen muss, dass es assoziativ ist, es inverse Elemente und neutrale Elemente für jedes Element gibt. Aber ich weiß nicht genau, wie ich das hier machen kann, weil ich ja n nicht kenne.

Danke schonmal

Comments

Wenn n keine Primzahl ist kann man \( \odot \) gar nicht auf die betrachte Menge einschränken.

ZB für n=6

\( [2]\odot [3]=[0]\)

Answer 1

dass es assoziativ ist,

Ist assoziativ, weil Z/n ein Ring ist. Das steht in der Aufagabenstellung.

und neutrale Elemente für jedes Element gibt

Nein. Es gibt ein Element, dass für alle Elemente neutral ist.

Dieses Element ist [1]_n, laut Aufgabenstellung. Neutralität von [1]_n wurde aber wahrscheinlich schon im Zuge des Beweises, dass Z/n ein Ring mit 1 ist, bewiesen.

es inverse Elemente ... für jedes Element gibt.

Das ist das einzig wirklich neue.

Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann man ggT(a,n) darstellen als

        p·a + q·n = ggT(a,n).

Dabei ist [q·n]_n = [0]_n.

Ist n prim, dann ist somit

        [p]_n ⊙ [a]_n = [1]_n.

Du musst noch zeigen, dass (Z/n∖{[0]_n}, ⊙, [1]_n) keine Gruppe ist, wenn n nicht prim ist.