Sei \(A\in I\) mit \(A\neq 0\). Dann ist $$A=\sum_{r,s=1}^n a_{rs}E_{rs}$$
wobei \(E_{rs}\) die Matrix ist, die in der Position (r,s) eine 1 stehen hat
und sonst nur Nullen.
Da \(A\neq 0\) ist, gibt es ein Index-Paar \((j,i)\), so dass \(a_{ji}\neq 0\) ist.
Da \(I\) ein zweiseitiges Ideal ist, liegt \(E_{ij}AE_{ij}\) ebenfalls in \(I\).
Nun ist $$E_{ij}AE_{ij}=E_{ij}(\sum_{r,s}a_{rs}E_{rs})E_{ij}=\sum_{r,s}a_{rs}E_{ij}E_{rs}E_{ij}=a_{ji}E_{ij}$$
Mit \((a_{ji}^{-1}E_n)\cdot a_{ji}E_{ij}\), wobei \(E_n\) die Einheitsmatrix ist, liegt dann auch
\(E_{ij}\) in \(I\).
Durch Multiplikation mit geeignete Permutationsmatrizen \(P\) von links und \(Q\)
von rechts kann man aus \(E_{ij}\) jede Matrizeneinheit
\(E_{rs}\; (r,s=1,\cdots,n)\) herstellen. Somit liegen diese alle in \(I\).
Man kann sich leicht klarmachen, dass ein Ideal im Matrizenring ein
Untervektorraum des Vektorraums der Matrizen ist.
Da die Matrizen \(E_{rs}\; (r,s=1,\cdots,n)\) ein Erzeugendensystem bilden,
ist damit \(I=K^{n\times n}\).
