Das Ideal (p, x) im Ring Z[x] ist kein Hauptideal. (Beweis)

Question

Aufgabe:

Es sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass das Ideal (p, x) im Ring Z[x] kein Hauptideal ist.

Problem/Ansatz:

p ist definiert als Primzahl.

Die einzigen ganzen Zahlen, die in Z[x] Teiler von x sind, sind offenbar 1 und -1.

Reicht es hier zu zeigen dass 1 /∈ (p,x) ist ?

Comments

Angenommen (p,x)=(q) für ein Polynom q in Z[x], dann gäbe es ein Polynom r in Z[x], sodass

p = q * r => 0 = deg(p) = deg(q) + deg(r) => deg(q) = 0 und deg(r) = 0,

Also sind q und r ganze Zahlen.

- Warum kann q keine Einheit (d.h. ±1) sein?

- Was folgerst du daraus für q?

Des Weiteren muss es ja aber auch ein s in Z[x] mit

x = q * s

geben.

- Geht das? Betrachte mal die Leitkoeffizienten.