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Aufgabe:

Ist I ein Ideal in einem Ring R, so heißt
Wurzel I := {a ∈ R | an ∈ I für ein n ∈ N} ⊂ R das Radikal von I.

a) Wurzel I ist Ideal von R

b) Ist a ∈ Wurzel ⟨0⟩, so gilt 1 + a ∈ R*

c) Berechnen Sie Wurzel ⟨180⟩ in Z
Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe auf Unterstützung. Ich Bedanke mich im Voraus.

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Ist der Ring kommutativ?

Ich glaube nicht, da es sonst in der Aufgabenstellung stehen würde. Hättest du sonst ein Idee wenn der Ring kommutativ wäre?

Ja. Viele Profs vereinbaren auch "Im Folgenden sei ein Ring stets ein kommutativer Ring mit Eins". Schau mal in deinen Unterlagen ob ihr sowas auch gemacht habt.

Ja das haben wir auch definiert "Im folgenden sei ein Ring stets kommutativ mit Eins".

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a).

zz. (i) \( 0 \in \sqrt I \), (ii) \( x,y \in \sqrt I\implies x + y \in \sqrt I \), (iii) \( r \in R, x \in \sqrt I \implies rx \in \sqrt I \)

(i) \( 0 = 0^1 \in I \implies 0 \in \sqrt I \)

(iii) Sei \( r \in R\) und \( x \in \sqrt  I \) dann existiert ein \( n \) s.d. \( x^n \in I \), da \( I \) ein Ideal ist $$ (rx)^n = \underbrace{r^n}_{\in R} \underbrace{x^n}_{\in I} \in I \implies rx \in \sqrt I$$ Hier geht schon die Kommutativität des Rings ein.

(ii) Seien \( x, y \in \sqrt I \), dann existieren \(n,m\) mit \( x^n, y^m \in I \). Wir halten fest, dass für alle \( k \in \mathbb{N} \) auch $$ x^{n+k} = \underbrace{x^k}_{\in R}\underbrace{ x^n}_{\in I} \in I $$ analog \( y^{m+k} \in I \). Der binomische Lehrsatz (Kommutativität nötig) liefert $$ \begin{aligned} (x+y)^{n+m} &= \sum_{i=0}^{n+m} \begin{pmatrix}n+m\\i\end{pmatrix} x^i y^{n+m-i} \\&= \sum_{i=0}^{n} \underbrace{ \left[\begin{pmatrix}n+m\\i\end{pmatrix} x^i \right]}_{\in R} \underbrace{y^{n+m-i}}_{\in I} +\sum_{i=n+1}^{n+m}  \underbrace{\left[\begin{pmatrix}n+m\\i\end{pmatrix} y^{n+m-i} \right]}_{\in R} \underbrace{x^i}_{\in I} \\&\in I \end{aligned}$$ (beachte im ersten Summanden \( n+m-i \ge m \), im zweiten \( i \ge n \)) und somit \( x+y \in \sqrt I \).

b) Wegen \( a \in \sqrt{\langle 0 \rangle} \) existiert ein \( n \) mit \( a^n \in \langle 0 \rangle \) also \( a^n = 0 \), auch \( a^{2n+1} = 0 \). Damit $$ 1 = 1+a^{2n+1} = (1+a)(1-a+a^2 - a^3 \pm \dotsm + a^{2n}) $$ somit \( 1 + a \in R^* \).

c) \( 180 = 2^23^25 \implies (2\cdot3\cdot5)^2 \in \langle 180\rangle \implies 30 = 2\cdot 3 \cdot 5 \in \sqrt{\langle 180 \rangle} \). Also \( \langle 30 \rangle \subseteq \sqrt{\langle 180 \rangle} \).

Sei umgekehrt \( x \in \sqrt{\langle 180 \rangle} \), dann existiert ein \( n \) s.d. \( x^n \in \langle 180 \rangle \) heißt \( 180 ~|~ x^n \), also \( 2,3,5 ~|~ x^n \implies 2,3,5 ~|~ x \implies 30 ~|~ x\) folglich \( x \in \langle 30 \rangle \).

Verständnisfrage: Was ist \( \sqrt{\langle 4840 \rangle}\)?

Avatar von 1,3 k

Auf deine Frage habe ich ⟨220⟩⊆√⟨4840⟩ bzw.  ∈ ⟨220⟩heraus hoffe das ist richtig.

Nicht ganz. Es geht in die richtige Richtung aber eine 2 ist noch zu viel.

$$ p~|~ x^n \implies p~|~ x \ $$

Der Schritt funktioniert nur für Primzahlen.

Falls dir die Antwort geholfen hat würde ich mich über einen Stern freuen :)

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