a).
zz. (i) \( 0 \in \sqrt I \), (ii) \( x,y \in \sqrt I\implies x + y \in \sqrt I \), (iii) \( r \in R, x \in \sqrt I \implies rx \in \sqrt I \)
(i) \( 0 = 0^1 \in I \implies 0 \in \sqrt I \)
(iii) Sei \( r \in R\) und \( x \in \sqrt I \) dann existiert ein \( n \) s.d. \( x^n \in I \), da \( I \) ein Ideal ist $$ (rx)^n = \underbrace{r^n}_{\in R} \underbrace{x^n}_{\in I} \in I \implies rx \in \sqrt I$$ Hier geht schon die Kommutativität des Rings ein.
(ii) Seien \( x, y \in \sqrt I \), dann existieren \(n,m\) mit \( x^n, y^m \in I \). Wir halten fest, dass für alle \( k \in \mathbb{N} \) auch $$ x^{n+k} = \underbrace{x^k}_{\in R}\underbrace{ x^n}_{\in I} \in I $$ analog \( y^{m+k} \in I \). Der binomische Lehrsatz (Kommutativität nötig) liefert $$ \begin{aligned} (x+y)^{n+m} &= \sum_{i=0}^{n+m} \begin{pmatrix}n+m\\i\end{pmatrix} x^i y^{n+m-i} \\&= \sum_{i=0}^{n} \underbrace{ \left[\begin{pmatrix}n+m\\i\end{pmatrix} x^i \right]}_{\in R} \underbrace{y^{n+m-i}}_{\in I} +\sum_{i=n+1}^{n+m} \underbrace{\left[\begin{pmatrix}n+m\\i\end{pmatrix} y^{n+m-i} \right]}_{\in R} \underbrace{x^i}_{\in I} \\&\in I \end{aligned}$$ (beachte im ersten Summanden \( n+m-i \ge m \), im zweiten \( i \ge n \)) und somit \( x+y \in \sqrt I \).
b) Wegen \( a \in \sqrt{\langle 0 \rangle} \) existiert ein \( n \) mit \( a^n \in \langle 0 \rangle \) also \( a^n = 0 \), auch \( a^{2n+1} = 0 \). Damit $$ 1 = 1+a^{2n+1} = (1+a)(1-a+a^2 - a^3 \pm \dotsm + a^{2n}) $$ somit \( 1 + a \in R^* \).
c) \( 180 = 2^23^25 \implies (2\cdot3\cdot5)^2 \in \langle 180\rangle \implies 30 = 2\cdot 3 \cdot 5 \in \sqrt{\langle 180 \rangle} \). Also \( \langle 30 \rangle \subseteq \sqrt{\langle 180 \rangle} \).
Sei umgekehrt \( x \in \sqrt{\langle 180 \rangle} \), dann existiert ein \( n \) s.d. \( x^n \in \langle 180 \rangle \) heißt \( 180 ~|~ x^n \), also \( 2,3,5 ~|~ x^n \implies 2,3,5 ~|~ x \implies 30 ~|~ x\) folglich \( x \in \langle 30 \rangle \).
Verständnisfrage: Was ist \( \sqrt{\langle 4840 \rangle}\)?
