Hi, ich gehe gerade Altklausuren durch und frage mich bei dieser Aufgabe, warum ich nicht auch Lipschitzstetigkeit auf einem beschränkten Intervall zeigen darf, um auf gleichmäßige Stetigkeit schließen zu können. Ich bin inutitiv bei der Bearbeitung von a) genauso vorgegangen wie es für b) vorgesehen war:
Untersuchen Sie, ob die Funktion \( f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}} \) auf den Intervallen
\( \begin{array}{llll}{\text { (a) }(0,1)} & {\text { und }} & {\text { (b) }[1, \infty)} & {}\end{array} \)
gleichmäßig stetig ist.
Zu \( (a): \) Hier ist die Funktion nicht gleichmäñsig stetig. Zum Nachweis betrachte man etwa das Folgenpaar \( x_{n}=\frac{1}{n} \) und \( y_{n}=\frac{1}{2 n} \) und wende das Folgenkriterium für die glm.
Stetigkeit an.
\( Z u(b): \) Die Funktion ist hier differenzierbar mit beschränkter Ableitung. Der Schrankensatz ergibt die gleichmäßige Stetigkeit.
Wisst ihr vielleicht warum ich das nicht für a) machen darf?
Und ich wollte euch auch noch fragen, ob ich das mit dem Folgekriterium so beweisen darf:
$$x_{n}-y_{n}=\frac{1}{2n}\rightarrow 0$$
$$f(x)-f(y)=2\sqrt{n}-2\sqrt{2n}\rightarrow \infty$$
Das Folgekriterium gilt doch dann nur für beschränkte Intervalle, oder?
