Logarithmusgleichungen Aufgabe lösen?

Question

Aufgabe:

\( 2 \ln (x+3)-3 \ln (x+2)+\ln (x+1)=0 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen diese Logarithmusgleichungen zu lösen?

Comments

helfen diese Logarithmusgleichungen zu lösen

Ich sehe nur eine.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.2\ln(x+3)-3\ln(x+2)+\ln(x+1)=0\quad\right|+3\ln(x+2)$$$$\left.2\ln(x+3)+\ln(x+1)=3\ln(x+2)\quad\right|\log(a^b)=b\log(a)\text{ anwenden}$$$$\left.\ln\left((x+3)^2\right)+\ln(x+1)=\ln\left((x+2)^3\right)\quad\right|\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\text{ anwenden}$$$$\left.\ln\left((x+3)^2(x+1)\right)=\ln\left((x+2)^3\right)\quad\right|e^\cdots$$$$\left.(x+3)^2(x+1)=(x+2)^3\quad\right|\text{ausmultiplizieren}$$$$\left.\cancel{x^3}+\cancel{6x^2}+9x+x^2+6x+9=\cancel{x^3}+\cancel{6x^2}+12x+8\quad\right|\text{vereinfachen}$$$$\left.x^2+15x+9=12x+8\quad\right|-12x-8$$$$\left.x^2+3x+1=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=-\frac32\pm\sqrt{\frac54}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$Jetzt musst du aufpassen, weil die Argumente der Logarithmus-Funktion immer positiv sein müssen, muss wegen der ursprünglichen Gleichung \(x>-1\) gelten. Daher fällt die mögliche Lösung mit \((-\sqrt5)\) weg, sodass nur eine Lösung übrig bleibt:$$x=\frac{\sqrt5-3}{2}\approx-0,381966$$

Answer 2

Da gilt: a*lnb = lnb^a und lna-lnb+lnc = ln(a/b*c) :

ln ((x+3)^2*(x+1)^2/(x+2)^3)) = 0

(x+3)^2*(x+1)^2/(x+2)^3) = e^0= 1

(x+3)^2*(x+1)^2 = (x+2)^3

ausmultiplizieren und zusammenfassen:

....

x^2+3x+1=0

....