Rechnet mit geordneter Basis und nicht geordneter Basis gleich?

Question

Angenommen man hat eine geordnetet Basis und eine nicht geordnete Basis.

Jetzt will man zeigen, dass die geordnetet Basis B, eine Basis des Vektorraums R^3 ist.

Problem/Ansatz:

Würde da jetzt stehen das B eine nicht geordnete Basis von R^3 ist, dann wüsste ich wie man es angehen soll. Ich würde die 3 Vektoren auf lineare unabhängigkeit Prüfen.

Jetzt ist meine Frage, ob man das auch einfach mit einer geordneten Basis genau so machen kann?

Angenommen die geordnete Basis  B würde aus den Vektoren (1,0,-1), (1,1,1), (2,2,2) bestehen und man solle Zeigen, dass B eine Basis von R^3 bildet.

Nach meinem Wissen wäre das nicht der Fall, da die Determinante = 0 ist und bei dem Gauß Verfahren eine Nullzeile rauskommt, was sagt das die 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind.

Aber stimmt das so?

Answer 1

Bzgl. linearer Unabhängigkeit und Erzeugendensystem-Sein
gibt es keinen Unterschied zwischen geordneten und nicht
geordneten Basen.

Comments

Wenn da also steht: Zeigen Sie das B (welche eine geordnetet Basis ist) eine Basis von R^3 ist.

Dann würde man das genau so angehen, wie wenn B eine nicht geordnetet Basis wäre oder?

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Ja. \(\;\;\;\;\;\)

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Alles klar danke. Ich habe nämlich exakt diese Aufgabe und das ist falsch. Ich habe mich gewundert wieso dann die Aufgabe so formuliert ist, als ob es sicher stimmen würde.