Beweisen geordneter Körper

Question

Aufgabe:Sei(K, <) ein geordneter Körper, A⊆K eine Teilmenge und α ∈K eine obere Schranke von A. Beweisen Sie:

α ist das Supremum von A ⇔ ∀ε > 0 ∃x ∈A: α - ε<x

Problem/Ansatz: Ich habe gerade gar kein Plan was ich genau machen soll.

Es wäre hilfreich wenn jemand mir dabei helfen könnte.

Answer 1

"\(\Rightarrow\)" Angenommen es gibt ein \(\varepsilon > 0\), so dass für alle \(x\in A\) gilt, dass \(\alpha - \varepsilon\geq x\) ist. Begründe mittels der Defintion des Supremums, warum \(\alpha\) nicht Supremum von \(A\) sein kann.

"\(\Leftarrow\)" Angenommen es gilt \(\forall \varepsilon > 0\ \exists x\in A:\ \alpha-\varepsilon < x\). Sei \(x\in K\) mit \(x < \alpha\). Begründe warum \(x\) keine obere Schranke von \(A\) ist.

Comments

Können Sie das bitte mehr erklären.

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Die Äquivalenz \(A\iff B\) kann man beweisen indem man die Implikationen \(A\implies B\) und \(B \implies A\) beweist.

Eine Implikation \(A \implies B\) kann man beweisen indem man die Kontraposition \(\neg B \implies \neg A\) beweist. Das ist der Ansatz in der ersten Hälfte meiner Antwort.