Kann ich machen. Ich werde im folgenden
\( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\)
zeigen. Den anderen Teil, also
\(\frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b}\),
solltest du dann alleine hinbekommen. Fangen wir an.
Wir haben erstmal \( \frac{a}{b} \) gegeben und erweitern diesen Ausdruck mit \( \frac{b+d}{b+d} \) und multiplizieren aus:
\( \frac{a}{b}\frac{(b+d)}{(b+d)} = \frac{ab + ad}{b(b+d)}\)
Diesen Bruch können wir nun auseinanderziehen und erhalten
\( \frac{ab}{b(b+d)}+\frac{ad}{b(b+d)} = \frac{ab}{b(b+d)}+\frac{a}{b}\frac{d}{(b+d)}\)
Nun wissen wir, dass nach Voraussetzung gilt, dass
\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Damit können wir unseren Ausdruck nach oben abschätzen:
\( \frac{ab}{b(b+d)}+\frac{a}{b}\frac{d}{(b+d)} < \frac{ab}{b(b+d)}+\frac{c}{d}\frac{d}{(b+d)}\)
Sollte dir dieser Schritt unklar sein, setze für \( a,b\) und \( c\) irgendwelche ganze Zahlen ein und schau dir dann das Ergebnis an. Du kannst es dir aber auch anders überlegen:
Gilt
\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
dann bleibt diese Ungleichung auch erhalten, wenn wir auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl addieren. Das gleiche gilt für die Multiplikation einer positiven Zahl. Schau dir dazu sonst nochmal die Eigenschaften von Ungleichungen an!
Nun zurück zu unserem Ausdruck. Wir waren bei
\(\frac{ab}{b(b+d)}+\frac{c}{d}\frac{d}{(b+d)}\)
Wie dir sicherlich auch aufgefallen ist, haben wir im zweiten Summanden im Nenner und im Zähler jeweils \(d\) stehen. Das gleiche gilt für den ersten Summanden für \( b \). Das kürzen wir raus und formen bzw. vereinfachen den Ausdruck dann zu:
\(\frac{a}{(b+d)}+\frac{c}{1}\frac{1}{(b+d)} = \frac{a}{(b+d)}+\frac{c}{(b+d)} = \frac{a+c}{(b+d)}\)
Das war's dann auch schon. Damit haben wir gezeigt, dass
\( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\)
gilt.
Der andere Teil funktioniert genauso.
Lg
