Es seien K ein geordneter Körper und x, y ∈ K

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein geordneter Körper und \( a, b \in K \). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) \( 0<a<b \Longrightarrow 0<b^{-1}<a^{-1} \),
(b) Sei \( K=\mathbb{R} \). Gilt \( a \leq \varepsilon \) für alle \( \varepsilon>0 \), so ist \( a \leq 0 \).
Hinweis: Widerspruchsbeweis und betrachten Sie \( \varepsilon=\frac{a}{2} \).

Answer 1

\( b^{-1}<a^{-1} \)

Seien a,b ∈ K mit 0<a<b.

Dann auch \( 0 <a^{-1} \), denn es ist \( a \dot a^{-1} = 1 > 0 \)

Und ein Produkt mit einem positiven Faktor ist nur dann positiv,

wenn der andere Faktor auch positiv ist.

Also \( b^{-1} > 0  \) und \( a^{-1} > 0 \) also auch deren Produkt.

Dann kann man a<b mit dem Produkt \( b^{-1} \cdot a^{-1} \) multiplizieren

und erhält \( b^{-1}<a^{-1} \).

b) Angenommen es sein a>0. Dann ist auch \( \varepsilon=\frac{a}{2} > 0 \)

Und somit \( a \leq \varepsilon \) für dieses Epsilon nicht erfüllt.