Wie kann ich zeigen, dass f(1)=1 ist?

Question

Aufgabe:

f:[0,1]->[0,1] ist bijektiv und stetig. Es gilt zudem f(0)=0.

Wie kann ich zeigen, dass f(1)=1 ist?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Laut Satz vom Minimum und Maximum exisiert \(M \coloneqq \max\{f(x) | x\in [0;1]\}\).

Wegen Surjektivität ist \(M =1\).

Sei \(x_M\in [0,1]\) mit \(f(x_M) = M\).

Ist \(x_M \neq 1\), dann gibt es einen Widerspruch zwischen Zwischenwertsatz und Injektivität.