Aloha :)
Wir führen das Flächenintegral mit Hilfe des Gauß'schen Satzes \((d\vec f=dV\,\vec\nabla)\) auf ein Volumenintegral zurück:
$$I=\oint\limits_{\partial V}\vec A(\vec r)\,d\vec f=\oint\limits_{\partial V}d\vec f\,\vec A(\vec r)=\int\limits_VdV\,\vec\nabla\vec A(\vec r)=\int\limits_V\left(y^2+3x^2\right)dV$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b\;\int\limits_{z=0}^c(3x^2+y^2)\,dz\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b\;\left[(3x^2+y^2)z\right]_{z=0}^c\,dy\,dx$$$$\phantom{I}=c\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b\;(3x^2+y^2)\,dy\,dx=c\int\limits_{x=0}^a\;\left[3x^2y+\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^bdx=c\int\limits_{x=0}^a\;\left(3x^2b+\frac{b^3}{3}\right)dx$$$$\phantom{I}=c\left[x^3b+\frac{b^3}{3}x\right]_{x=0}^a=c\left(a^3b+\frac{b^3}{3}a\right)=\frac{abc}{3}\left(3a^2+b^2\right)$$
