Aloha :)
Mit Hilfe des Gauß'schen Satzes \((dV\cdot\vec \nabla=d\vec f)\) führst du das Integral über ein vektorielles Flächenelement \(d\vec f\) auf ein Integral über ein Volumenelement \(dV\) zurück:$$I=\oiint\limits_{\phi}\vec v\,d\vec f=\oiint\limits_{\phi}d\vec f\,\vec v=\iiint\limits_{V(\phi)}dV\cdot\vec\nabla\vec v=\int\limits_{x=0}^2\;\,\int\limits_{y=-2}^2\!\!\int\limits_{z=0}^{\sqrt{4-y^2}}\operatorname{div}\begin{pmatrix}z^2-x\\-xy+z\\3z-x\end{pmatrix}\,dx\,dy\,dz$$
Bei der Berechnung des Integral über \(dz\) von \(z=0\) bis \(\sqrt{4-y^2}\) muss der Wert von \(y\in[-2;2]\) fest gewählt sein. Das heißt, wir müssen zuerst über \(dz\) integrieren, erhalten ein Ergebnis, das von \(y\) abhängt, und können erst danach über \(dy\) integrieren.
Das Ausrechnen der Divergenz liefert uns einen sehr friedlichen Integranden:$$I=\int\limits_{x=0}^2\;\,\int\limits_{y=-2}^2\!\!\int\limits_{z=0}^{\sqrt{4-y^2}}(-1-x+3)\,dx\,dy\,dz=\int\limits_{x=0}^2\;\,\int\limits_{y=-2}^2\!\!\int\limits_{z=0}^{\sqrt{4-y^2}}(2-x)\,dx\,dy\,dz$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^2(2-x)\,dx\int\limits_{y=-2}^2\left(\int\limits_{z=0}^{\sqrt{4-y^2}}dz\right)\,dy=\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^2\int\limits_{y=-2}^2\sqrt{4-y^2}\,dy$$Das Integral über die Wurzel können wir ohne Rechnung angeben, es beschreibt die Bogenlänge \(2\pi\) eines Halbkreises mit Radius \(2\):$$\phantom I=\left(2-0\right)\cdot2\pi=4\pi$$
