0 Daumen
776 Aufrufe

Berechnen Sie  das Integral mit Hilfe des Satzes von Gauß :

                                        \( \iint_{\partial S} \vec{v}  d 0 \)

mit

                   \( \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}x^{3} \\ y^{2} \\ 0\end{array}\right) \)

wobei S die Oberfläche des Halbellipsoids ist

               \( \left(\frac{x}{8}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{z}{3}\right)^{2} \leq 1, \quad z \geq 0 \)

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir parametrisieren zunächst den Ellipsoid mit Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}ar\cos\varphi\sin\vartheta\\br\sin\varphi\sin\vartheta\\cr\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi/2]$$Beachte, dass wegen \(z\ge0\) das Intervall für den Winkel \(\vartheta\) entsprechend eingeschränkt ist. Das Volumenelement für den Ellispoid ist, wegen der Skalierung der Dimensionen um den Faktor \(abc\), gegenüber dem der Kugel verzerrt:$$dV=abc\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$

Das gesuchte Integral ist damit:

$$\Phi=\oint\limits_{S}\vec v\,d\vec f=\int\limits_{V(S)}\operatorname{div}\vec v\,dV=\int\limits_{V(S)}\left(3x^2+2y\right)dV$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_0^1dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\left(3(ar\cos\varphi\sin\vartheta)^2+2\cdot(br\sin\varphi\sin\vartheta)\right)\,abc\,r^2\sin\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\left(3a^2r^2\cos^2\varphi\sin^2\vartheta+2br\sin\varphi\sin\vartheta\right)\sin\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(3a^2r^2\cos^2\varphi\underbrace{\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin^3\vartheta}_{=2/3}+2br\sin\varphi\underbrace{\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin^2\vartheta}_{=\pi/4}\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(2a^2r^2\cos^2\varphi+\frac{\pi}{2}br\sin\varphi\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\left(2a^2r^2\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,\cos^2\varphi}_{=\pi}+\frac{\pi}{2}br\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\;\sin\varphi}_{=0}\right)$$$$\phantom{\Phi}=abc\int\limits_0^1dr\,r^2\left(2\pi\,a^2r^2\right)=2\pi\,a^3bc\int\limits_0^1 r^4\,dr=2\pi\,a^3bc\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^1=\frac{2}{5}\pi\,a^3bc$$

Mit \(a=8,b=2,c=3\) heißt das:$$\Phi=\frac{2}{5}\pi\,8^3\cdot2\cdot3=\frac{6144}{5}\pi\approx3.860,3891$$

Avatar von 152 k 🚀

Moin

@Tschakabumba magst du mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?!

https://www.mathelounge.de/742005/wie-bestimme-ich-parameterintegrale-und-differentiation

Grüße

0 Daumen

Hallo

erst mal div(v) berechnen, dann das Integral über das Volumen, Wo liegen deine Schwierigkeiten?

lul

Avatar von 108 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community